引力位（Gravitational Potential）

本文作者：天疆说
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定义

引力位（gravitational potential，又称引力势）是描述天体引力场的标量势函数 $U(\mathbf{r})$ ，其梯度给出该点的引力加速度矢量：

\mathbf{g}(\mathbf{r}) = \nabla U(\mathbf{r})

引力位提供了比矢量场更紧凑的数学描述：一个标量函数便携带了引力场的全部信息（Vallado 2022）。航天器在引力场中的势能 $V$ 与引力位的关系为 $U = -V/m$ ，引力势能以无穷远处为零点。

点质量位。 将中心天体视为质点或匀质球体时， $U = \mu / r$ ，其中 $\mu = GM$ 为天体引力常数， $r$ 为天体质心距。这是二体问题的基础：代入 $\nabla U$ 即得牛顿万有引力加速度 $-\mu \,\hat{\mathbf{r}} / r^2$ 。

非球形引力位的球谐展开

真实天体不是匀质球体，其质量分布的不均匀和形状的非球形使实际引力偏离点质量模型。对外部空间一点 $P(r, \phi, \lambda)$ （ $r$ 为天体质心距， $\phi$ 为纬度， $\lambda$ 为经度），引力位可展开为球谐级数（Vallado 2022, Ch. 8.6；尹智等 2024）：

U(r,\phi,\lambda) = \frac{\mu}{r} \left[ 1 + \sum_{\ell=2}^{\infty} \sum_{m=0}^{\ell} \left(\frac{R}{r}\right)^{\!\ell} \bar{P}_{\ell m}(\sin\phi) \bigl( \bar{C}_{\ell m} \cos m\lambda + \bar{S}_{\ell m} \sin m\lambda \bigr) \right]

其中 $R$ 为天体参考半径（地球取赤道半径 $a_e$ ）， $\bar{P}_{\ell m}$ 为归一化缔合勒让德函数， $\bar{C}_{\ell m}$ 和 $\bar{S}_{\ell m}$ 为归一化球谐系数（斯托克斯系数）。系数携带天体全部质量分布信息：低阶项描述大尺度形状（扁率等），高阶项刻画局部细节。展开从 $\ell = 2$ 开始是因为 $\ell = 0$ 项即点质量位 $\mu/r$ ，而 $\ell = 1$ 项在坐标系原点取在天体质心时为零。

三类球谐项

按阶数 $m$ 与次数 $\ell$ 的关系，球谐项分为三类（Vallado 2022；尹智等 2024）：

类型	条件	几何特征	物理含义
带谐项（zonal）	$m = 0$	仅随纬度变化，对称于极轴	赤道扁率（ $J_2$ ）、梨形（ $J_3$ ）等整体形状
扇谐项（sectoral）	$\ell = m$	仅随经度变化，呈橙瓣状	经度方向的质量集中
田谐项（tesseral）	$\ell \neq m \neq 0$	随纬度和经度同时变化，呈棋盘状	特定区域的质量异常

J 符号惯例。 带谐项常用 $J_\ell$ 代替 $C_{\ell,0}$ ，约定 $J_\ell = -C_{\ell,0}$ （Vallado 2022, Eq. 8-20）。地球的 $J_2 \approx 1.0826 \times 10^{-3}$ ，是各系数中绝对值最大的一个，比次大的 $J_3$ 约大 1000 倍，贡献了地球非球形引力摄动的主体（轨道面进动、近地点旋转等）。

归一化。 原始系数 $C_{\ell m}$ 和 $S_{\ell m}$ 随 $\ell$ 、 $m$ 增大会变得极小而引入舍入误差，因此实际发布的模型均使用归一化系数 $\bar{C}_{\ell m}$ 、 $\bar{S}_{\ell m}$ ：

\bar{C}_{\ell m} = \sqrt{\frac{(\ell+m)!}{(\ell-m)!\,k\,(2\ell+1)}} \; C_{\ell m}, \qquad k = \begin{cases} 1 & m=0 \\ 2 & m \neq 0 \end{cases}

对应的勒让德函数也需反向归一化以保证乘积 $\bar{C}_{\ell m} \bar{P}_{\ell m} = C_{\ell m} P_{\ell m}$ 不变（Vallado 2022, Eq. 8-22）。

正常位与扰动位

大地测量学将引力位分解为参考部分和偏离部分（Vallado 2022）：

U = V + T

正常引力位 $V$ ：由一个旋转对称椭球体（正常地球）产生的引力位，只含偶阶带谐项。
扰动引力位 $T$ ：真实位与正常位之差 $T = U - V$ 。扰动引力加速度 $\delta\mathbf{g} = \nabla T$ 量级约 $200\ \text{mgal}$ （ $10^{-5}\ \text{m/s}^2$ ），在精密定轨和高程测量中不可忽略。

地球与月球的对比

特性	地球	月球
$J_2$ 量级	$\sim 1.08 \times 10^{-3}$	$\sim 2.03 \times 10^{-4}$
高阶场不规则程度	相对平滑	显著更强：正面存在质量瘤（mascon），高阶系数衰减更慢
对低轨道影响	$J_2$ 主导摄动	高阶项（ $\ell$ 达数十阶）对 $<100\ \text{km}$ 轨道仍有显著影响
代表性模型	EGM2008（2190 阶）	GRGM660PRIM（660 阶）

月球引力场的不规则性是地月空间任务设计的关键约束：低月球轨道（LLO）的高度如果低于约 100 km，引力不规则性会使单脉冲难以维持稳定轨道（Trofimov et al. 2020）。

参考文献

Vallado, D. A., 2022, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, 5th ed., Microcosm Press. Ch. 8.6.1：球谐函数展开的完整推导、归一化约定、J 符号、三类谐项分类。
尹智, 张克非, 段亚博, 刘军生, 穆庆禄, 2024, 地球科学和深空探测的引力场建模理论研究进展, 地球与行星物理论评, 55(5): 501–512. 引力场定义式、球谐展开、多极展开理论的系统综述。
Chao, B. F. & Shih, S. A., 2021, Multimultipole expansion: Unifying formalism for Earth and planetary gravitational dynamics, Surveys in Geophysics, 42: 803–838. 复变球谐引力场表示。
Trofimov, S. et al., 2020, Transfers from NRHOs to low-perilune orbits, Acta Astronautica, 167: 260–271. 月球不规则引力对低近月点轨道的影响。