哈密顿函数（Hamiltonian）

本文作者：天疆说
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定义

哈密顿函数 $H(\mathbf{q},\mathbf{p},t)$ 是相空间上的标量函数，与正则方程 $\dot{\mathbf{q}}=\partial H/\partial\mathbf{p}$ 、 $\dot{\mathbf{p}}=-\partial H/\partial\mathbf{q}$ 一起决定任何哈密顿系统的演化。保守力学中 $H$ 等于系统总能量；最优控制中 $H=L+\boldsymbol{\lambda}^{\!\top}\mathbf{f}$ 是庞特里亚金原理的核心；CR3BP 中 $H=-C/2$ ， $C$ 为雅可比常数。同一对象统一了分析力学、摄动理论与轨迹优化（Meyer & Offin 2017；Szebehely 1967）。

从拉格朗日量到 Hamilton 函数

给定拉格朗日量 $L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)$ ，定义共轭动量 $\mathbf{p}=\partial L/\partial\dot{\mathbf{q}}$ ，执行 Legendre 变换

H(\mathbf{q},\mathbf{p},t)=\mathbf{p}^{\!\top}\dot{\mathbf{q}}-L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t).

由此得到正则方程。当 $H$ 不显含 $t$ 时 $dH/dt=\partial H/\partial t=0$ ， $H$ 为守恒量。自然 Hamilton 量形式为 $H=T(\mathbf{p})+V(\mathbf{q})$ （动能加势能），是力学系统的原型。

Hamilton 矩阵与辛结构

哈密顿系统在相空间 $\mathbf{z}=(\mathbf{q},\mathbf{p})$ 上的线性化 $\dot{\mathbf{z}}=A\mathbf{z}$ ，其系数矩阵 $A(t)$ 满足 $A^{\!\top}J+JA=0$ ， $J=\begin{pmatrix}0&I\\-I&0\end{pmatrix}$ ，称为 Hamilton 矩阵；其谱关于 $\lambda\mapsto -\lambda$ 对称（Meyer & Offin 2017, Prop. 2.3.1）。Hamilton 矩阵的指数是辛矩阵 $M$ ，满足 $M^{\!\top}JM=J$ ，特征值以倒数对 $\lambda,1/\lambda$ 出现。任何 Hamilton 流的状态转移矩阵都是辛矩阵，这是共线平动点处 saddle×center×center 结构的代数根源（详见辛结构与哈密顿正规形）。

CR3BP Hamilton 量与雅可比常数

在圆型限制性三体问题的会合坐标系下，自治 Hamilton 函数为

H=\tfrac12(p_x^2+p_y^2+p_z^2)+yp_x-xp_y-\frac{1-\mu}{r_1}-\frac{\mu}{r_2},

其中 $r_1,r_2$ 为到两主天体的距离（Szebehely 1967；Meyer & Offin 2017）。科氏与离心项表现为 $yp_x-xp_y$ 。雅可比常数 $C=-2H$ 是 CR3BP 唯一守恒量，通过零速度曲面限定 Hill 区域（见雅可比积分）。

Cox et al.（2021）将 $H$ 拆分为自然 Hamilton 量

H_{nat}=\tfrac12 v^2-\tfrac12(x^2+y^2)-\frac{1-\mu}{r_1}-\frac{\mu}{r_2}

（无摄 CR3BP 中守恒）与低推力 Hamilton 量 $H_{lt}=H_{nat}-\mathbf{r}^{\!\top}\mathbf{a}_{lt}$ ，当低推力加速度 $\mathbf{a}_{lt}$ 在旋转系下固定时， $H_{lt}$ 成为新的守恒量。相对 Hamilton 量描述追踪航天器在双主天体引力下相对目标的运动。

近可积 Hamilton 系统

若系统有 $n$ 个相互对合（Poisson 括号为零）的独立积分，则称为可积。近可积 Hamilton 量形如 $H=H_0(I)+\varepsilon H_1(I,\varphi)$ ， $(I,\varphi)$ 为可积部分的作用-角变量， $\varepsilon\ll 1$ 。KAM 定理与 Nekhoroshev 定理描述其长期动力学（Celletti 2010；见 KAM 定理）。Hamilton 可积近似把 $H_1$ 对快变量平均，得到捕捉平均运动共振的可积 $\bar H$ ，用于为地月共振轨道族的数值延拓提供初值（Ding et al. 2025）。

Hamilton 约化

$H$ 具有对称性时，Noether 定理给出守恒量（线动量、角动量、Jacobi 积分）。Hamilton 约化通过对称群对相空间取商以降低有效自由度，Meyer–Marsden–Weinstein 约化是标准框架（Meyer & Offin 2017, Ch.7）。固定 Jacobi 常数的平面 CR3BP 可约化为 Hill 区域上的二维 Hamilton 流。

最优控制中的 Hamilton 函数

最优控制问题的 Hamilton 函数由动力学与即时代价构造：

H(\mathbf{x},\boldsymbol{\lambda},\mathbf{u},t)=L(\mathbf{x},\mathbf{u},t)+\boldsymbol{\lambda}^{\!\top}\mathbf{f}(\mathbf{x},\mathbf{u},t),

最优控制在每一时刻极小化 $H$ 。它与力学 Hamilton 函数共享正则方程结构，协态 $\boldsymbol{\lambda}$ 起到动量作用（见庞特里亚金极值原理、协态变量与共轭方程）。

应用要点

自治问题中 $H$ 守恒是数值积分精度廉价而严格的检验。
CR3BP-LT 在旋转系固定推力下继承守恒 $H_{lt}$ ，可像 Jacobi 常数一样用于能量门控的轨迹设计。
单值矩阵的辛谱（读自 $H$ 的二阶变分）决定平动点轨道的稳定/不稳定/中心流形。

参考文献

Szebehely, V. (1967). Theory of Orbits: The Restricted Problem of Three Bodies.
Meyer, K. R., & Offin, D. C. (2017). Introduction to Hamiltonian Dynamical Systems and the N-Body Problem, 3rd ed., Ch. 1–2, 7.
Celletti, A. (2010). Stability and Chaos in Celestial Mechanics.
Cox, A. B., et al. (2021). CR3BP with low-thrust.
Ding, Y., et al. (2025). Cislunar SSA via Earth-Moon resonant orbits.