序列凸规划（Sequential Convex Programming, SCP）

本文作者：天疆说

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定义

序列凸规划（sequential convex programming, SCP，又称 successive convexification、SCvx）是 直接法 中针对非凸最优控制问题的一类方法：在参考轨迹 x∗(t)\mathbf{x}^{*}(t) 处对非线性动力学做一阶 Taylor 展开，配合信赖域约束、对非凸控制约束做无损凸化，把原问题转换为一系列二阶锥规划（SOCP）子问题。每次迭代用 SOCP 解更新参考轨迹，直到 ∥x(n)−x(n−1)∥\|\mathbf{x}^{(n)}-\mathbf{x}^{(n-1)}\| 收敛，相关框架见 Acikmese 和 Ploen 2007 与 Szmuk 等 2017[651]。

与一般 直接配点法 求解 NLP 不同，SCP 子问题是凸的：

  • 内点法可在多项式时间内解到给定精度，且有确定性停机判据。
  • 用户提供初值不影响内点法启动（self-dual embedding 自动构造可行起点）。
  • 全局最优性在子问题级别可保证（虽然原非凸问题仍是局部最优）。

这些性质使 SCP 适合实时/on-board 应用，这是它与一般 NLP 直接法的核心区别。

数学形式

考虑非凸 OCP

min⁡x,uJ,  x˙=f(x,u),  x(t0)=x0,  边界/路径约束.\min_{\mathbf{x},\mathbf{u}} J,\ \ \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x},\mathbf{u}),\ \ \mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0,\ \ \text{边界/路径约束}.

SCP 的第 nn 次迭代在参考解 x(n−1)(t)\mathbf{x}^{(n-1)}(t) 处线性化动力学

x˙≈A(t) x+B(t) u+q(t),\dot{\mathbf{x}} \approx A(t)\,\mathbf{x}+B(t)\,\mathbf{u}+\mathbf{q}(t),

A(t)=∂f∂x∣x(n−1),B(t)=∂f∂u∣x(n−1),q(t)=f(x(n−1),u(n−1))−A x(n−1)−B u(n−1).A(t)=\frac{\partial\mathbf{f}}{\partial\mathbf{x}}\bigg|_{\mathbf{x}^{(n-1)}},\quad B(t)=\frac{\partial\mathbf{f}}{\partial\mathbf{u}}\bigg|_{\mathbf{x}^{(n-1)}},\quad \mathbf{q}(t)=\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(n-1)},\mathbf{u}^{(n-1)})-A\,\mathbf{x}^{(n-1)}-B\,\mathbf{u}^{(n-1)}.

加上信赖域约束 ∥x−x(n−1)∥≤δn\|\mathbf{x}-\mathbf{x}^{(n-1)}\|\leq \delta_n 限制线性化误差，把原问题转为线性时变（LTV）动力学 + 凸约束的子问题。配合伪谱/Radau 离散化为有限维 SOCP，用 ECOS、Mosek、CVX 等求解。

无损凸化（lossless convexification）

很多航天问题的非凸性来自控制约束，而非动力学。典型例子是动力下降的推力幅值约束 ρ2≤∥Tc∥≤ρ1\rho_2\leq\|\mathbf{T}_c\|\leq\rho_1：下界非零导致可行集是环，非凸。引入松弛变量 Γ≥∥Tc∥\Gamma\geq\|\mathbf{T}_c\|，把控制约束改为凸锥 ∥Tc∥≤Γ, ρ2≤Γ≤ρ1\|\mathbf{T}_c\|\leq\Gamma,\ \rho_2\leq\Gamma\leq\rho_1，构造松弛问题。

Acikmese 和 Ploen 在 2007 年的关键 Lemma 证明：在一定条件下，松弛问题的最优解必然落在原始非凸可行集上，因此松弛不损失最优性（lossless）。这一结果后来推广到一般控制仿射问题[166]。

虚拟控制（virtual control）

线性化可能产生原始问题可行但子问题不可行的人工不可行（artificial infeasibility）。引入未受限的虚拟控制 ν\boldsymbol{\nu} 加入线性化动力学约束，使子问题恒可行。在代价函数里对 ∥ν∥\|\boldsymbol{\nu}\| 加大权重，迫使收敛时 ν→0\boldsymbol{\nu}\to\mathbf{0}。若收敛后 ν=0\boldsymbol{\nu}=\mathbf{0}，则子问题解严格满足非线性动力学。

信赖域与收敛判据

信赖域半径 δn\delta_n 自适应调整：若实际代价下降 ΔJact\Delta J_{\text{act}} 与预测下降 ΔJpred\Delta J_{\text{pred}} 之比 rnr_n 接近 1（线性化准确），扩大 δn+1\delta_{n+1}。若 rnr_n 接近 0（线性化不准），缩小 δn+1\delta_{n+1}。Hofmann 和 Topputo 采用 ρi,αi,βi\rho_i,\alpha_i,\beta_i 三段调整策略[388]。

收敛判据通常包含三项：动力学违反 ϵc→0\epsilon_c\to 0、代价变化 ϵϕ→0\epsilon_\phi\to 0、虚拟控制 ∥ν∥→0\|\boldsymbol{\nu}\|\to 0。

变体

  • SCvx（Szmuk et al.）：经典信赖域 + 虚拟控制框架，理论收敛性证明较完整[609]。
  • GUSTO（Mao, Szmuk, Acikmese）：基于成功步/失败步的两阶段策略，工程实现友好[478]。
  • ECIPS / cvxgen：嵌入式代码生成，用于星载实时求解。
  • PC-SCoP（相位约束序列锥规划）：多相问题扩展，在相间事件处施加线性化约束。
  • 逐次凸优化与切换时刻提取：用 FRPM 离散化，配合 bang-off-bang 控制的网加密，可精确捕捉低推力燃料最优的开关结构。

与直接配点 / 伪谱法的对比

特性SCP直接配点/伪谱法
子问题SOCP（凸）一般 NLP（非凸）
收敛性多项式时间 + 确定性局部，依赖初值
实时性强（毫秒~秒级）弱（秒~分钟级）
全局最优子问题级保证无保证
应用场景制导、on-board任务设计、地面优化
控制结构精度需切换时刻提取直接捕捉

应用要点

  • 动力下降制导：火星/月球定点着陆是 SCP 的杀手锏应用：Acikmese & Ploen 的 lossless convexification 是为该问题量身定做，已用于 SpaceX Starship 的 on-board 实时规划[600]。
  • 低推力转移：日地/地月低推力多圈燃料最优转移，Wang & Grant 首次把 SCP 用于该类问题，Tang 和 Conway 则把间接法与序列凸规划结合起来求解同类问题[612]。Hofmann 和 Topputo 推广到行星际、配合 hp-Radau + bang-off-bang 加密。
  • 地月平动点转移：Halo 与 NRHO 之间的转移等高非线性区域，Kayama 等 2022 证明 SCP 在 CR3BP 邻域仍可收敛，但需推力延续法（从大加速度逐步降至任务推力）才能在低加速度下不出发散[421]。
  • 碰撞规避与交会：近场 RPO、被动安全交会，用 SCP 求解带凸化保持约束的转移[293]。

相关概念

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Contributors: cislunarspace, ouyangjiahong