雅可比积分（Jacobi Integral / Jacobi Constant）

本文作者：天疆说
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定义

雅可比积分（Jacobi integral）是圆型限制性三体问题（CR3BP）在会合坐标系下迄今已知的唯一解析积分，1836 年由 Jacobi 给出[608]。其积分常数 $C$ 又称雅可比常数（Jacobi constant），记作 $C$ 、 $C_J$ ，少数文献用 $J$ （差一符号约定，见下节）。无量纲化（会合坐标系下距离单位为主天体间距、 $\omega=1$ ）后，其表达式为

C \;=\; 2\Omega(x,y,z) - v^2 \;=\; (x^2+y^2) + \frac{2(1-\mu)}{r_1} + \frac{2\mu}{r_2} - (\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2),

其中 $\mu=m_2/(m_1+m_2)$ 为质量参数， $r_1$ 、 $r_2$ 为到两主天体的距离， $v$ 为航天器在会合系中的速度大小，见 Vallado 2022 的 Eq. 12-15 与 Szebehely 1967 的 §1.6[631]。Vallado 称其为伪积分，并非因为推导可疑，而是因为它只存在于会合系这个特殊参考系下、且仅对限制性三体问题成立。

C 与能量方向相反：C 越大表示总能量越低、航天器越受限。C 越小能量越高、可达区域越大。

推导：科氏力做功为零

CR3BP 运动方程（无量纲形式）为

\ddot{\mathbf r} + 2\,\hat{\mathbf z}\times\dot{\mathbf r} = \nabla\Omega,

其中 $\nabla\Omega$ 同时含引力与离心项，科氏项 $2\hat{\mathbf z}\times\dot{\mathbf r}$ 单独列出。两边点乘 $\dot{\mathbf r}$ ：

\dot{\mathbf r}\cdot\ddot{\mathbf r} + \underbrace{\dot{\mathbf r}\cdot(2\hat{\mathbf z}\times\dot{\mathbf r})}_{=0} = \dot{\mathbf r}\cdot\nabla\Omega = \frac{d\Omega}{dt}.

科氏力恒与速度垂直、瞬时功率为零，故直接消失。剩下 $\tfrac{d}{dt}(\tfrac12 v^2) = \tfrac{d\Omega}{dt}$ ，积分即得 $v^2 = 2\Omega - C$ ，详见 Vallado 2022 的 §12.7.1 与 Szebehely 1967 的 §1.6。这一推导也说明：守恒量之所以存在，关键不在引力，而在会合系中运动方程不显含时间，换到惯性系，该积分立刻失效。

有效势 $\Omega$ 及其众多别名

$\Omega$ 由两部分组成：离心势 $\tfrac12(x^2+y^2)$ 加上两主天体的引力势 $(1-\mu)/r_1 + \mu/r_2$ 。它在本族各模板壳里至少出现过五个名字，全部指向同一个 $\Omega$ ：

有效势 / 等效势（effective potential）：最通用叫法，强调把离心项并入势后方程可写成 $\ddot{\mathbf r}+2\hat{\mathbf z}\times\dot{\mathbf r}=\nabla\Omega$ 的紧凑形式。
伪势 / 赝势 / 拟势 / 伪势函数（pseudo-potential, pseudopotential）：历史叫法，因为离心势不是真正的引力势。
有效赝势（effective pseudo-potential）：以上两个名字的合体。

一个常见口误是把科氏力也算进 $\Omega$ 。不对：科氏力做功为零，不出现在 $\Omega$ 中。它只以速度耦合项留在运动方程里。 $\Omega$ 的等值面 $\Omega=C/2$ 即零速度曲面。 $\Omega$ 的梯度为零处给出五个平动点。

符号与符号方向约定

文献中至少有三种符号同时流通，读公式比读符号保险：

记号	定义	数值方向	典型范围（地月系）	出处
$C$ 或 $C_J$	$C=2\Omega-v^2$	大 = 低能	$[2.988,+\infty)$	Szebehely 1967。Vallado 2022。Parker & Anderson 2014
$J$	$J=\Omega-\tfrac12 v^2=-C/2$	大 = 高能	$(-\infty,1.494]$	Mingotti et al. 2011[492]。Sánchez & Yárnoz 2016
$E_{\text{rot}}$	$E_{\text{rot}}=\tfrac12 v^2-\Omega=J$	大 = 高能	同 $J$	Scott 2010（文中称 C，实为 $J$ ）

雅可比能量（Jacobi energy）只是 $C$ 或 $J$ 的口语化称呼，不指向新概念。本词典把它并入本词条。

临界值 $C_i$ 与可达区域

把五个平动点处的速度取为零，得到五个临界雅可比常数 $C_i = 2\Omega(L_i)$ 。地月系（ $\mu=0.01215$ ）与日地系（ $\mu=3.04\times10^{-6}$ ）的典型值如下[525]（见 Table 2-2）：

平动点	地月系 $C_i$	日地系 $C_i$
$L_1$	3.188341	3.000898
$L_2$	3.172161	3.000894
$L_3$	3.012147	3.000003
$L_4=L_5$	2.987997 = $3-\mu(1-\mu)$	2.999997

满足 $C_1>C_2>C_3>C_4=C_5$ 。这些阈值把航天器按能量分层： $C>C_1$ 时被锁在地球附近、月球附近或外部三个互不连通的区域之一。 $C_2<C<C_1$ 时 $L_1$ 颈口打开、可地月转移。 $C<C_2$ 时 $L_2$ 颈口打开、可去深空。 $C\le C_4$ 时全空间可达。拓扑变化详见零速度曲面。

工程应用

转移可行性的硬约束

C 是航天器单凭动力学（无 $\Delta v$ ）能到达哪片区域的第一判据：从地球附近出发要够得着月球，必须把 C 降到 $C_1$ 以下。要去 $L_2$ 以外的深空，必须降到 $C_2$ 以下。低能地月转移的设计本质就是在合适的时机、以最小的 $\Delta v$ 把 C 从近地停泊轨道的值（约 $3.44$ ，地球引力主导）降到 $C_1\approx 3.188$ 以下。

$\Delta C$ 与 $\Delta v$ 的解析关系

固定位置施加脉冲， $\Omega$ 不变，由 $C=2\Omega-v^2$ 立得

\Delta C = -2\,\mathbf v\cdot\Delta\mathbf v.

推论（与二体机械能 $\Delta E=\mathbf v\cdot\Delta\mathbf v$ 同向）：

$\Delta C$ 与 $\mathbf v\cdot\Delta\mathbf v$ 反号，降 C（升能量）需要顺速度方向的 $\Delta v$ 。
速度越大的位置，同样的 $\Delta v$ 改变 C 越多，所以应在近心点而非远心点机动才高效。
$\Delta\mathbf v$ 与 $\mathbf v$ 共线时 $|\Delta C|$ 最大。

这一条是四脉冲、双脉冲地月转移中机动点选取的理论基础[95]。连续小推力下对应的微分关系为 $\dot C = -2\,\mathbf a_T\cdot\mathbf v$ （Eq. 5.9，按其符号约定），同样在速度大处效率高[580]。

蒂塞朗参数：用轨道根数估 $J$

彗星或小行星在行星遭遇前后，其日心轨道根数 $(a,e,i)$ 通过蒂塞朗参数（Tisserand parameter）近似对应同一个 J：

J \;\approx\; \frac{a_p}{a} + 2\cos i\,\sqrt{\frac{a}{a_p}(1-e^2)},

$a_p$ 为扰动行星的半长轴。该式源出于限制性三体问题的雅可比积分在远距离处的近似[504][571]，另见 Murray 与 Dermott 1999 的 §3.4 与 Sánchez 与 Yárnoz 2016 的 Eq. 2，用于在不掌握遭遇细节时识别同一颗彗星、或快速筛选可能被捕获的小行星。

数值积分精度检验

CR3BP 数值积分中，C 应严格守恒。其在积分过程中的实际漂移 $|C(t)-C_0|$ 是积分误差最硬的指标之一，常作为微分改正的终止判据（即所谓雅可比常数误差约束）。地月低能转移的精细化和站位保持（target point method）均以 C 的漂移量级评估方案质量，精细化做法可参见 Dei Tos 与 Topputo 2017。

周期轨道族延拓参数

在用数值延拓追踪 Halo、Lyapunov、Lissajous、NRHO 等周期轨道族时，C 是最自然的单参数延拓变量，固定 C 求周期解，或固定振幅看 C 的变化曲线，由此得到族的整体分岔图。