雅可比积分（Jacobi Integral / Jacobi Constant）

本文作者：天疆说

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定义

雅可比积分（Jacobi integral）是圆型限制性三体问题（CR3BP）在会合坐标系下迄今已知的唯一解析积分，1836 年由 Jacobi 给出。其积分常数 CC 又称雅可比常数（Jacobi constant），记作 CC、CJC_J，少数文献用 JJ（差一符号约定，见下节）。无量纲化（会合坐标系下距离单位为主天体间距、ω=1\omega=1）后，其表达式为

C  =  2Ω(x,y,z)−v2  =  (x2+y2)+2(1−μ)r1+2μr2−(x˙2+y˙2+z˙2),C \;=\; 2\Omega(x,y,z) - v^2 \;=\; (x^2+y^2) + \frac{2(1-\mu)}{r_1} + \frac{2\mu}{r_2} - (\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2),

其中 μ=m2/(m1+m2)\mu=m_2/(m_1+m_2) 为质量参数，r1r_1、r2r_2 为到两主天体的距离，vv 为航天器在会合系中的速度大小（Vallado 2022, Eq. 12-15；Szebehely 1967, §1.6）。Vallado 称其为伪积分，并非因为推导可疑，而是因为它只存在于会合系这个特殊参考系下、且仅对限制性三体问题成立。

C 与能量方向相反：C 越大表示总能量越低、航天器越受限；C 越小能量越高、可达区域越大。

推导：科氏力做功为零

CR3BP 运动方程（无量纲形式）为

r¨+2 z^×r˙=∇Ω,\ddot{\mathbf r} + 2\,\hat{\mathbf z}\times\dot{\mathbf r} = \nabla\Omega,

其中 ∇Ω\nabla\Omega 同时含引力与离心项，科氏项 2z^×r˙2\hat{\mathbf z}\times\dot{\mathbf r} 单独列出。两边点乘 r˙\dot{\mathbf r}：

r˙⋅r¨+r˙⋅(2z^×r˙)⏟=0=r˙⋅∇Ω=dΩdt.\dot{\mathbf r}\cdot\ddot{\mathbf r} + \underbrace{\dot{\mathbf r}\cdot(2\hat{\mathbf z}\times\dot{\mathbf r})}_{=0} = \dot{\mathbf r}\cdot\nabla\Omega = \frac{d\Omega}{dt}.

科氏力恒与速度垂直、瞬时功率为零，故直接消失。剩下 ddt(12v2)=dΩdt\tfrac{d}{dt}(\tfrac12 v^2) = \tfrac{d\Omega}{dt}，积分即得 v2=2Ω−Cv^2 = 2\Omega - C（Vallado 2022, §12.7.1；Szebehely 1967, §1.6）。这一推导也说明：守恒量之所以存在，关键不在引力，而在会合系中运动方程不显含时间，换到惯性系，该积分立刻失效。

有效势 Ω\Omega 及其众多别名

Ω\Omega 由两部分组成：离心势 12(x2+y2)\tfrac12(x^2+y^2) 加上两主天体的引力势 (1−μ)/r1+μ/r2(1-\mu)/r_1 + \mu/r_2。它在本族各模板壳里至少出现过五个名字，全部指向同一个 Ω\Omega：

  • 有效势 / 等效势（effective potential）：最通用叫法，强调把离心项并入势后方程可写成 r¨+2z^×r˙=∇Ω\ddot{\mathbf r}+2\hat{\mathbf z}\times\dot{\mathbf r}=\nabla\Omega 的紧凑形式；

  • 伪势 / 赝势 / 拟势 / 伪势函数（pseudo-potential, pseudopotential）：历史叫法，因为离心势不是真正的引力势；

  • 有效赝势（effective pseudo-potential）：以上两个名字的合体。

一个常见口误是把科氏力也算进 Ω\Omega。不对：科氏力做功为零，不出现在 Ω\Omega 中；它只以速度耦合项留在运动方程里。Ω\Omega 的等值面 Ω=C/2\Omega=C/2 即 零速度曲面；Ω\Omega 的梯度为零处给出五个 平动点。

符号与符号方向约定

文献中至少有三种符号同时流通，读公式比读符号保险：

记号定义数值方向典型范围（地月系）出处
CC 或 CJC_JC=2Ω−v2C=2\Omega-v^2大 = 低能[2.988,+∞)[2.988,+\infty)Szebehely 1967；Vallado 2022；Parker & Anderson 2014
JJJ=Ω−12v2=−C/2J=\Omega-\tfrac12 v^2=-C/2大 = 高能(−∞,1.494](-\infty,1.494]Mingotti et al. 2011；Sánchez & Yárnoz 2016
ErotE_{\text{rot}}Erot=12v2−Ω=JE_{\text{rot}}=\tfrac12 v^2-\Omega=J大 = 高能同 JJScott 2010（文中称 C，实为 JJ）

雅可比能量（Jacobi energy）只是 CC 或 JJ 的口语化称呼，不指向新概念；本词典把它并入本词条。

临界值 CiC_i 与可达区域

把五个 平动点 处的速度取为零，得到五个临界雅可比常数 Ci=2Ω(Li)C_i = 2\Omega(L_i)。地月系（μ=0.01215\mu=0.01215）与日地系（μ=3.04×10−6\mu=3.04\times10^{-6}）的典型值如下（Parker & Anderson 2014, Table 2-2）：

平动点地月系 CiC_i日地系 CiC_i
L1L_13.1883413.000898
L2L_23.1721613.000894
L3L_33.0121473.000003
L4=L5L_4=L_52.987997 = 3−μ(1−μ)3-\mu(1-\mu)2.999997

满足 C1>C2>C3>C4=C5C_1>C_2>C_3>C_4=C_5。这些阈值把航天器按能量分层：C>C1C>C_1 时被锁在地球附近、月球附近或外部三个互不连通的区域之一；C2<C<C1C_2<C<C_1 时 L1L_1 颈口打开、可地月转移；C<C2C<C_2 时 L2L_2 颈口打开、可去深空；C≤C4C\le C_4 时全空间可达。拓扑变化详见 零速度曲面。

工程应用

转移可行性的硬约束

C 是航天器单凭动力学（无 Δv\Delta v）能到达哪片区域的第一判据：从地球附近出发要够得着月球，必须把 C 降到 C1C_1 以下；要去 L2L_2 以外的深空，必须降到 C2C_2 以下。低能地月转移的设计本质就是在合适的时机、以最小的 Δv\Delta v 把 C 从近地停泊轨道的值（约 3.443.44，地球引力主导）降到 C1≈3.188C_1\approx 3.188 以下。

ΔC\Delta C 与 Δv\Delta v 的解析关系

固定位置施加脉冲，Ω\Omega 不变，由 C=2Ω−v2C=2\Omega-v^2 立得

ΔC=−2 v⋅Δv.\Delta C = -2\,\mathbf v\cdot\Delta\mathbf v.

推论（与二体机械能 ΔE=v⋅Δv\Delta E=\mathbf v\cdot\Delta\mathbf v 同向）：

  1. ΔC\Delta C 与 v⋅Δv\mathbf v\cdot\Delta\mathbf v 反号，降 C（升能量）需要顺速度方向的 Δv\Delta v；
  2. 速度越大的位置，同样的 Δv\Delta v 改变 C 越多，所以应在近心点而非远心点机动才高效；
  3. Δv\Delta\mathbf v 与 v\mathbf v 共线时 ∣ΔC∣|\Delta C| 最大。

这一条是四脉冲、双脉冲地月转移中机动点选取的理论基础（乔琛远、杨乐平 2024）。连续小推力下对应的微分关系为 C˙=−2 aT⋅v\dot C = -2\,\mathbf a_T\cdot\mathbf v（Scott 2010, Eq. 5.9，按其符号约定），同样在速度大处效率高。

蒂塞朗参数：用轨道根数估 JJ

彗星或小行星在行星遭遇前后，其日心轨道根数 (a,e,i)(a,e,i) 通过蒂塞朗参数（Tisserand parameter）近似对应同一个 J：

J  ≈  apa+2cos⁡i aap(1−e2),J \;\approx\; \frac{a_p}{a} + 2\cos i\,\sqrt{\frac{a}{a_p}(1-e^2)},

apa_p 为扰动行星的半长轴。该式源出于限制性三体问题的雅可比积分在远距离处的近似（Murray & Dermott 1999, §3.4；Sánchez & Yárnoz 2016, Eq. 2），用于在不掌握遭遇细节时识别同一颗彗星、或快速筛选可能被捕获的小行星。

数值积分精度检验

CR3BP 数值积分中，C 应严格守恒。其在积分过程中的实际漂移 ∣C(t)−C0∣|C(t)-C_0| 是积分误差最硬的指标之一，常作为微分改正的终止判据（即所谓雅可比常数误差约束）。地月低能转移的精细化（Dei Tos & Topputo 2017）和站位保持（target point method）均以 C 的漂移量级评估方案质量。

周期轨道族延拓参数

在用数值延拓追踪 Halo、Lyapunov、Lissajous、NRHO 等周期轨道族时，C 是最自然的单参数延拓变量，固定 C 求周期解，或固定振幅看 C 的变化曲线，由此得到族的整体分岔图。

相关概念

参考文献

  • Szebehely V. Theory of Orbits: The Restricted Problem of Three Bodies. Academic Press, 1967, §1.6, Ch. 4.

  • Vallado D. A. Fundamentals of Astrodynamics and Applications. 5th ed., 2022, §12.7.

  • Parker J. S., Anderson R. L. Low-Energy Lunar Trajectory Design. JPL, 2014, Ch. 2, Table 2-2.

  • Murray C. D., Dermott S. F. Solar System Dynamics. Cambridge Univ. Press, 1999, §3.4 (Tisserand criterion).

  • Sánchez J. P., García Yárnoz D. Asteroid retrieval missions enabled by invariant manifold dynamics. Acta Astronautica, 2016.

  • Scott C. J. Transfer and Capture into Distant Retrograde Orbits. Ph.D. thesis, Purdue, 2010, §5.3.

  • Mingotti G., Topputo F., Bernelli-Zazzera F. Optimal low-thrust invariant manifold trajectories via attainable sets. JGCD, 2011.

  • 乔琛远, 杨乐平. 地月 L1L_1 点低能转移轨道设计与优化. 2024.

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Contributors: Cron Job, Ou Yang Jiahong, ouyangjiahong