Bang-bang 控制（Bang-bang Control）

本文作者：天疆说
本站地址：https://cislunarspace.cn

定义

Bang-bang 控制是燃耗最优控制问题中推力幅值的标准形式：控制量仅在允许范围的两个极值间切换：推力要么取最大值 $F = F_{\max}$ （开），要么为零 $F = 0$ （关），不存在中间推力值的持续燃烧[217]。bang-bang 一词源于继电器开关切换时发出的砰声。

这是庞特里亚金极值原理（Pontryagin's Minimum Principle）的直接推论[548]。在燃耗最省目标下，哈密顿函数对推力幅值 $F$ 呈线性依赖关系，极小化哈密顿函数等价于将推力幅值推向约束的边界，要么最大、要么最小（零）。仅当切换函数恒为零时可能出现中间值，此即奇异弧。

按切换函数符号把推力轨迹划成三段弧（最大推力弧、无推力弧、中间推力弧）的分类规律，是 Lawden 弧定律的内容。本词条只讲推力幅值本身的开关律，弧段分类及其物理含义见该词条。

数学推导

燃耗最优问题的哈密顿形式

考虑单一中心引力场中的小推力航天器，动力学方程为[164]：

\dot{\mathbf{r}} = \mathbf{v},\qquad \dot{\mathbf{v}} = -\frac{\mu}{r^3}\mathbf{r} + \frac{F}{m}\boldsymbol{\alpha},\qquad \dot{m} = -\frac{F}{g_0 I_{sp}}

其中 $\boldsymbol{\alpha}$ 为推力方向单位矢量（ $\|\boldsymbol{\alpha}\|=1$ ）， $F \in [0, F_{\max}]$ 为推力幅值。燃耗最省的 Mayer 形式性能指标为 $J = \min[-m(t_f)]$ 。

引入协态变量 ${\lambda}_r, {\lambda}_v, \lambda_m$ 构造哈密顿函数：

H = {\lambda}_r^{\mathrm{T}}\dot{\mathbf{r}} + {\lambda}_v^{\mathrm{T}}\dot{\mathbf{v}} + \lambda_m \dot{m}

代入动力学方程并分离与控制相关的项：

H = {\lambda}_r^{\mathrm{T}}\mathbf{v} - \frac{\mu}{r^3}{\lambda}_v^{\mathrm{T}}\mathbf{r} + F\left(\frac{\boldsymbol{\lambda}_v^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}}{m} - \frac{\lambda_m}{g_0 I_{sp}}\right)

第三项对 $F$ 线性依赖，这直接导致了 Bang-bang 结构的出现。

最优推力方向：先驱向量

定义先驱向量（primer vector） $\mathbf{p}(t) \equiv -\boldsymbol{\lambda}_v(t)$ ，见 Lawden 1963 年第 3 章[552]。极小化哈密顿函数等价于令推力方向 $\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\lambda}_v$ 反向：

\boldsymbol{\alpha}^* = -\frac{\boldsymbol{\lambda}_v}{\|\boldsymbol{\lambda}_v\|} = \frac{\mathbf{p}}{\|\mathbf{p}\|}

即最优推力方向与先驱向量方向一致[553]。

切换函数与 Bang-bang 条件

定义开关函数（switching function） $S$ ：

S = \frac{\partial H}{\partial F} = -\frac{\|\boldsymbol{\lambda}_v\|}{m} - \frac{\lambda_m}{g_0 I_{sp}}

根据庞特里亚金极小值原理， $H$ 对 $F$ 线性， $F$ 取区间端点中使 $F \cdot S$ 较小的一端：

F^* = \begin{cases} 0, & S > 0 \\[4pt] F_{\max}, & S < 0 \\[4pt] \text{待定}, & S = 0 \end{cases}

三种情形对应的弧段命名与分类依据见 Lawden 弧定律。 $S(t)$ 的符号在飞行过程中变化，形成开-关-开-关交替的 Bang-bang 结构。关键在于：开关时刻（ $S(t)=0$ 的时刻）和开关次数事先未知，必须作为优化问题的一部分求解。

在无量纲化下，可定义推力比 $u = F/F_{\max} \in [0,1]$ ，开关函数等价表示为[164]：

\rho = 1 - \frac{g_0 I_{sp} \|\boldsymbol{\lambda}_v\|}{m} - \lambda_m

Bang-bang 条件变为： $\rho > 0 \Rightarrow u^*=0$ ， $\rho < 0 \Rightarrow u^*=1$ 。

奇异弧的界定

当 $S(t) \equiv 0$ 在一个有限时间区间上恒成立时，一级必要条件不足以确定 $F$ 。此时需使用 Legendre-Clebsch 条件判断是否为极小路径。数值经验表明，在一般的小推力二体问题中，恒为零的奇异弧极少出现。但在某些特定问题（如功率受限的低推力轨迹）中可能出现，相关分析见 Thorne 1996 年第 4 章[552][617]。

能量-燃耗同伦：Bang-bang 控制的数值求解

直接求解 Bang-bang 控制的主要困难是：微分方程右侧不连续（ $F$ 在开关处阶跃），且开关时刻和开关序列事先未知。延拓方法（同伦法）是目前求解该问题的主流途径。

核心思想[164]：从容易求解的能量最优问题出发（此时推力幅值随时间连续变化），通过逐步调整性能指标中的同伦参数 $\varepsilon$ ，将连续控制变形为 Bang-bang 控制。

构造带同伦参数 $\varepsilon \in [0,1]$ 的性能指标：

J = \min \left\{ \frac{F_{\max}}{g_0 I_{sp}} \int_{t_0}^{t_f} [u - \varepsilon u(1-u)]\, dt \right\}

$\varepsilon = 1$ 时为能量最优（ $\int u^2 dt$ ），控制律连续可导，收敛域宽。
$\varepsilon = 0$ 时为燃料最优（ $\int u dt$ ），控制律退化为 Bang-bang。

在同伦过程中，最优推力比具有闭式解：

u^* = \begin{cases} 0, & \rho > \varepsilon \\[4pt] \dfrac{\varepsilon - \rho}{2\varepsilon}, & -\varepsilon \leqslant \rho \leqslant \varepsilon \\[4pt] 1, & \rho < -\varepsilon \end{cases}

在边界层 $|\rho| \leqslant \varepsilon$ 内，控制律连续且可导。随着 $\varepsilon \to 0$ ，边界层收缩，连续解逼近 Bang-bang 解。同伦参数序列通常采用 $\varepsilon_d = 10^{-(d/N)}$ ， $N$ 取 15--60。

两类延拓方法[164]：

能量-燃耗同伦：先从能量最优解出发，逐步减小 $\varepsilon$ 至零。收敛性好，但不处理推力常值约束。
开关序列切换延拓：从双脉冲转移解出发，通过推力幅值延拓逐步最小推力轨道，再通过开关函数特征值变化自动调整开关序列。能保证每个中间解都满足 Bang-bang 必要条件。

地月空间中的工程关联

在地月空间 CR3BP+LT 模型下，Bang-bang 控制与以下概念密切相关：

CR3BP+LT 轨迹优化：在限制性三体框架下考虑低推力，间接法（通过协态变量的两点边值问题）自然导出 Bang-bang 推力剖面。Fahey[299] 在 Howell 组工作中使用 S 型函数平滑近似 Bang-bang 跳跃，作为最小燃料问题的中间步。
TCT 序列：地月转移中的 Thrust-Coast-Thrust 对应三段推力弧的交替，弧段的判据与命名见 Lawden 弧定律。
连续推力轨道保持（Station-Keeping）：在 NRHO、Halo 等平动点轨道的长期保持中，最优控制律同样呈 Bang-bang 特征，仅在轨道偏差超过阈值时施加推力[684]。