直接配点法（Direct Collocation）

本文作者：天疆说
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定义

直接配点法（direct collocation，又称直接转录 direct transcription、DCNLP）是直接法中最广泛使用的一类。它把时间区间 $[t_0,t_f]$ 划分为 $N$ 段，每段用低阶分段多项式插值状态（控制则在节点上离散），在每段的配点处强制满足动力学方程 $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x},\mathbf{u},t)$ 。这些配点处的「动力学满足条件」是一组非线性代数约束，称为缺陷约束（defect constraint）。把缺陷约束、边界条件、路径约束、性能指标一起交给 NLP 求解器，就完成了从连续 OCP 到有限维 NLP 的转录（Hargraves & Paris 1987；Betts 1998；Conway 2010）。

缺陷约束的数学形式

把第 $j$ 段 $[t_j,t_{j+1}]$ 记为长度 $h_j=t_{j+1}-t_j$ 。三种最常用的配点格式：

梯形（Trapezoidal）：状态在段内用线性插值，缺陷约束为

\boldsymbol{\zeta}_j = \mathbf{x}_{j+1}-\mathbf{x}_j - \frac{h_j}{2}\big[\mathbf{f}(\mathbf{x}_j,\mathbf{u}_j,t_j)+\mathbf{f}(\mathbf{x}_{j+1},\mathbf{u}_{j+1},t_{j+1})\big] = \mathbf{0}.

精度 2 阶。NLP 变量最少、雅可比最稀疏，常用作初判。

Hermite-Simpson（分离型 HSS）：在段内引入中点状态 $\mathbf{x}_{j+1/2}$ ，用三次 Hermite 多项式插值；中点处施加 Simpson 缺陷约束

\boldsymbol{\zeta}_j = \mathbf{x}_{j+1}-\mathbf{x}_j - \frac{h_j}{6}\big[\mathbf{f}_j+4\mathbf{f}_{j+1/2}+\mathbf{f}_{j+1}\big] = \mathbf{0},

其中 $\mathbf{f}_{j+1/2}=\mathbf{f}(\mathbf{x}_{j+1/2},\mathbf{u}_{j+1/2},t_{j+1/2})$ ，中点状态由 Hermite 插值给出。精度 3 阶。是 Hargraves-Paris 原文及 OTIS 等工具的默认格式（Hargraves & Paris 1987；Betts 1998）。

5 阶 Gauss-Lobatto（Herman-Conway）：每段三个配点（含两端），用 5 次多项式插值。精度 5 阶，对快速变化动力学（如旋转-平移耦合的 6DOF）尤其有用，但每段变量更多（Herman & Conway 1996）。

不论哪种格式，缺陷约束 $\boldsymbol{\zeta}_j=\mathbf{0}$ 在第 $j$ 段只与该段两端的 $O(n_x+n_u)$ 个变量耦合，因此整张雅可比是块三对角的稀疏矩阵——这是直接配点法可以求解上万变量问题的关键。

显式 vs 隐式配点

按「配点是否引入额外状态变量」还分：

显式配点（HSS, Hermite-Simpson separated）：中点状态作为新增 NLP 变量，缺陷约束为等式。规模大但雅可比更稀疏，便于 NLP 求解器利用稀疏性，工程实现多取此型。
隐式配点（HSC, Hermite-Simpson compressed）：中点状态用两端插值显式消去，缺陷约束直接写成两端变量的函数。变量少但雅可比稍密。

工程实现要点

变量缩放：状态/控制/时间的量纲差异可能跨越几十个数量级（如地月距离 vs 推力加速度），不缩放则条件数恶化。常见做法是按「标称量级」归一化（Betts 2010）。
坐标选择：笛卡尔坐标在 NLP 下表现差——状态快速变号且量级跨度大。改用轨道根数或 equinoctial 变量常显著提升鲁棒性（Conway 2010, Ch.3）。
网加密（mesh refinement）：先用粗网格（如 $N=20$ ）求得近似解，再根据每段局部误差估计加密——可在固定段内提升配点阶（trapezoid → H-S → 5 阶 G-L）或插入新节点。Betts 给出经验上每段新增节点上限为 5（Betts 2010）。
knots（结点）：状态不连续的边界（如球影响圈交界、引力辅助、级间分离）以「零宽度段」插入，配点约束在该段替换为左右状态的非线性等式（Conway 2010）。

直接配点 vs 伪谱法 vs 打靶法

特性	直接配点	伪谱法	打靶法
多项式	分段低阶	全局高阶	不显式参数化
节点数	几十~几百/相	几十~百/相	仅几个/相
雅可比稀疏性	强（块三对角）	弱（稠密）	中（块结构）
谱收敛	否	是	—
协态精度	较粗	精确（covector mapping）	间接法原生精确
适合	一般转移、6DOF	光滑解、需要协态	已有良好初值的边值问题

应用要点

低推力转移：地月低能转移、平动点间转移最常采用直接配点，配合形状法或不变流形拼接作为初值（Vellutini & Avanzini 2014）。
多体问题与高精度星历：笛卡尔 CR3BP 形式可直接配点；切换到星历模型时，用 equinoctial 变量 + knot 拼接引力体影响圈。
NLP 求解器：CasADi + Ipopt 是当前学术界的默认组合；工业代码多用 SNOPT。
作为强化学习解的精化器：近年流行的 RL + 直接配点两阶段法——RL 提供初值，直接配点收敛到满足 KKT 条件的局部最优（Ul Haq 等 2026）。

参考文献

Hargraves, C. R., & Paris, S. W. (1987). Direct trajectory optimization using nonlinear programming and collocation. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 10(4), 338–342.
Betts, J. T. (1998). Survey of numerical methods for trajectory optimization. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 21(2), 193–207.
Betts, J. T. (2010). Practical Methods for Optimal Control and Estimation Using Nonlinear Programming (2nd ed.). SIAM.
Herman, A. L., & Conway, B. A. (1996). Direct optimization using collocation based on high-order Gauss-Lobatto quadrature rules. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 19(3), 592–599.
Conway, B. A. (Ed.). (2010). Spacecraft Trajectory Optimization. Cambridge University Press, Ch. 3.
Enright, P. J., & Conway, B. A. (1992). Discrete approximations to optimal trajectories using direct transcription and nonlinear programming. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 15(4), 994–1002.
Vellutini, D., & Avanzini, G. (2014). Shape-based design of low-thrust trajectories to cislunar Lagrangian point.
Ul Haq, I. U., Dai, H., & Du, C. (2026). Autonomous low-thrust trajectory optimization in cislunar space via attention-augmented reinforcement learning. Aerospace Science and Technology.