直接配点法（Direct Collocation）

本文作者：天疆说
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定义

直接配点法（direct collocation，又称直接转录 direct transcription、DCNLP）是直接法中最广泛使用的一类。它把时间区间 $[t_0,t_f]$ 划分为 $N$ 段，每段用低阶分段多项式插值状态（控制则在节点上离散），在每段的配点处强制满足动力学方程 $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x},\mathbf{u},t)$ 。这些配点处的动力学满足条件是一组非线性代数约束，称为缺陷约束（defect constraint）。把缺陷约束、边界条件、路径约束、性能指标一起交给 NLP 求解器，就完成了从连续 OCP 到有限维 NLP 的转录[376][200][260][296]。

缺陷约束的数学形式

把第 $j$ 段 $[t_j,t_{j+1}]$ 记为长度 $h_j=t_{j+1}-t_j$ 。三种最常用的配点格式：

梯形（Trapezoidal）：状态在段内用线性插值，缺陷约束为

\boldsymbol{\zeta}_j = \mathbf{x}_{j+1}-\mathbf{x}_j - \frac{h_j}{2}\big[\mathbf{f}(\mathbf{x}_j,\mathbf{u}_j,t_j)+\mathbf{f}(\mathbf{x}_{j+1},\mathbf{u}_{j+1},t_{j+1})\big] = \mathbf{0}.

精度 2 阶。NLP 变量最少、雅可比最稀疏，常用作初判。

Hermite-Simpson（分离型 HSS）：在段内引入中点状态 $\mathbf{x}_{j+1/2}$ ，用三次 Hermite 多项式插值。中点处施加 Simpson 缺陷约束

\boldsymbol{\zeta}_j = \mathbf{x}_{j+1}-\mathbf{x}_j - \frac{h_j}{6}\big[\mathbf{f}_j+4\mathbf{f}_{j+1/2}+\mathbf{f}_{j+1}\big] = \mathbf{0},

其中 $\mathbf{f}_{j+1/2}=\mathbf{f}(\mathbf{x}_{j+1/2},\mathbf{u}_{j+1/2},t_{j+1/2})$ ，中点状态由 Hermite 插值给出。精度 3 阶。是 Hargraves-Paris 原文及 OTIS 等工具的默认格式。

5 阶 Gauss-Lobatto（Herman-Conway）：每段三个配点（含两端），用 5 次多项式插值。精度 5 阶，对快速变化动力学（如旋转-平移耦合的 6DOF）尤其有用，但每段变量更多[385]。

不论哪种格式，缺陷约束 $\boldsymbol{\zeta}_j=\mathbf{0}$ 在第 $j$ 段只与该段两端的 $O(n_x+n_u)$ 个变量耦合，因此整张雅可比是块三对角的稀疏矩阵，这是直接配点法可以求解上万变量问题的关键。

显式 vs 隐式配点

按配点是否引入额外状态变量还分：

显式配点（HSS, Hermite-Simpson separated）：中点状态作为新增 NLP 变量，缺陷约束为等式。规模大但雅可比更稀疏，便于 NLP 求解器利用稀疏性，工程实现多取此型。
隐式配点（HSC, Hermite-Simpson compressed）：中点状态用两端插值显式消去，缺陷约束直接写成两端变量的函数。变量少但雅可比稍密。

工程实现要点

变量缩放：状态/控制/时间的量纲差异可能跨越几十个数量级（如地月距离 vs 推力加速度），不缩放则条件数恶化。常见做法是按标称量级归一化，见 Betts 2010。
坐标选择：笛卡尔坐标在 NLP 下表现差，状态快速变号且量级跨度大。改用轨道根数或 equinoctial 变量常显著提升鲁棒性，见 Conway 2010 第 3 章。
网加密（mesh refinement）：先用粗网格（如 $N=20$ ）求得近似解，再根据每段局部误差估计加密，可在固定段内提升配点阶（从 trapezoid 到 H-S 再到 5 阶 G-L）或插入新节点。Betts 2010 给出经验上每段新增节点上限为 5。
knots（结点）：状态不连续的边界（如球影响圈交界、引力辅助、级间分离）以零宽度段插入，配点约束在该段替换为左右状态的非线性等式[198]。

直接配点 vs 伪谱法 vs 打靶法

特性	直接配点	伪谱法	打靶法
多项式	分段低阶	全局高阶	不显式参数化
节点数	几十~几百/相	几十~百/相	仅几个/相
雅可比稀疏性	强（块三对角）	弱（稠密）	中（块结构）
谱收敛	否	是	无
协态精度	较粗	精确（covector mapping）	间接法原生精确
适合	一般转移、6DOF	光滑解、需要协态	已有良好初值的边值问题

应用要点

低推力转移：地月低能转移、平动点间转移最常采用直接配点，配合形状法或不变流形拼接作为初值[635]。
多体问题与高精度星历：笛卡尔 CR3BP 形式可直接配点。切换到星历模型时，用 equinoctial 变量 + knot 拼接引力体影响圈。
NLP 求解器：CasADi + Ipopt 是当前学术界的默认组合。工业代码多用 SNOPT。
作为强化学习解的精化器：近年流行的 RL + 直接配点两阶段法，RL 提供初值，直接配点收敛到满足 KKT 条件的局部最优[627]。