轨道维持（Station-Keeping / Orbit Maintenance）

本文作者：天疆说
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定义

轨道维持（station-keeping，也称驻留维持、轨道保持）是指对航天器施加推力机动，以抵消摄动引起的漂移，将其实际轨迹控制在标称轨道规定的偏差范围内。在二体问题下，轨道维持主要用于克服大气阻力等耗散力；在地月三体空间中，轨道维持面对的是一类动力学上全新的问题——许多标称轨道本身是不稳定的（如共线平动点 halo 轨道），即使无摄动，初始偏差也会以时间常数短至数天的 e 指数增长而放大，加之太阳引力、太阳辐射压（Solar Radiation Pressure, SRP）和月球非球形引力等摄动的长期累积，航天器持续偏离设计轨道是不可避免的（Folta 等, 2014；Zhang 等, 2022）。

轨道维持在工程上不是一次性的轨道修正，而是贯穿任务全寿命的周期性控制闭环：导航系统定轨、地面/星上计算修正机动、推进系统执行脉冲或连续推力，如此循环。两次机动之间的"自然漂移-修正"间隔称为脉冲间隔（impulse interval 或 coast duration），典型值从 2 天到数十天不等，视轨道稳定性而定。

为什么需要轨道维持：摄动源

在地月空间中，驱动轨道漂移的摄动源按阶次排列如下：

轨道不稳定性的本征发散（首要驱动）：共线平动点 L1/L2 附近的轨道（halo、Lyapunov、NRHO 的大幅值分支）具有一对实 Floquet 乘子，其不稳定特征值 $\lambda > 1$ ，使得任意初始偏差沿不稳定流形方向以 e 指数增长。对于地月 halo 轨道，发散时间常数约为 5-14 天——ARTEMIS 任务的实际经验是"大约每周需要一次维持机动"（Folta 和 Vaughn, 2004；Pavlak 和 Howell, 2012）。
太阳引力（第三体摄动）：在共线平动点附近，太阳引力加速度的量级约 $5 \times 10^{-6}$ m/s $^2$ ，与不稳定流形诱发的漂移在同一数量级（Folta 等, 2014）。
太阳辐射压（SRP）：对面积质量比为典型值的航天器（如 Gateway 级：面积 50 m $^2$ ，质量 25.8 吨），SRP 加速度约 $2 \times 10^{-7}$ m/s $^2$ 。单独看不大，但如果标称轨道是在不含 SRP 的低保真模型（CR3BP）中构造的，忽略 SRP 会导致额外每年 5-6 m/s 的维持成本（Zhang 等, 2022，Table 7）。
月球非球形引力：对低近月点轨道（如 NRHO 近月点仅 ~3200 km，贴月极近），高阶球谐项（GRAIL 模型截断到 8 阶）显著改变近月点附近的动力学。忽略月球非球形引力导致 NRHO 的年维持成本从 1.63 跃升至 3.68 m/s（Zhang 等, 2022）。
行星摄动：木星引力的影响通常小于 1%，实际任务可忽略或酌情保留。

分类：脉冲推力与连续推力

按推力实施方式分为两大类：

脉冲驻留（Impulsive Station-Keeping）：以离散的速度增量 $\Delta V$ （脉冲）形式施加机动，两次脉冲之间航天器沿自然动力学自由漂移。这是当前工程实践中的主流方案——ARTEMIS、Gateway、Chang'E-4 中继星等任务均采用脉冲方式（Folta 等, 2014；Muralidharan 和 Howell, 2021）。脉冲驻留的数学形式是在离散时刻 $t_k$ 对状态施加瞬时跳变：

\mathbf{x}(t_k^+) = \mathbf{x}(t_k^-) + \begin{bmatrix} \mathbf{0} \\ \Delta \mathbf{v}_k \end{bmatrix}

连续推力驻留（Continuous / Low-Thrust Station-Keeping）：使用电推进（如霍尔推进器）以微小推力持续施加控制。在数学上，控制力 $\mathbf{u}(t)$ 进入运动方程右端，不再假设瞬时跳变。连续推力可以更精细地抵消不稳定分量，在燃料最优意义下潜力更大，但受限于当前推进系统的低推重比，实际任务仍以脉冲为主流（Zhang 和 Wang, 2022）。

控制策略

以下四种策略构成了地月空间轨道维持的主流方法论体系，按历史渊源和工程成熟度排列：

目标点法（Target Point Method）

由 Howell 和 Pernicka（1993）提出。核心思想是将标称轨道离散化为一系列按时间索引的目标点 $\{\mathbf{x}^*_k\}$ ，当前偏差 $\delta \mathbf{x}_k = \mathbf{x}_k - \mathbf{x}^*_k$ 通过状态转移矩阵 $\Phi(t_{k+1}, t_k)$ 向前传播，预测未来目标点的位置/速度偏差，然后通过最小化性能指标

J = \Delta \mathbf{v}^T \mathbf{Q} \Delta \mathbf{v} + \sum_{i=1}^{n} (\mathbf{p}_i^T \mathbf{R}_i \mathbf{p}_i + \mathbf{v}_i^T \mathbf{S}_i \mathbf{v}_i)

求解最优脉冲 $\Delta \mathbf{v}$ （Zhang 等, 2022）。最简单的变体仅使未来位置偏差为零，表达式为 $\Delta \mathbf{v} = -(\mathbf{B}_k^{k+1})^{-1}(\mathbf{A}_k^{k+1} \mathbf{p}_k + \mathbf{B}_k^{k+1} \mathbf{v}_k)$ ，其中 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ 为状态转移矩阵的分块。

目标点法在 DRO 和 halo 轨道上效果良好；Zhang 等（2022）报告，对 2:1 DRO，考虑成本指标的目标点法年成本仅 1.12 m/s。但对 NRHO 可能失败，原因是 NRHO 近月点区域的动力学高度敏感，目标点法在强非线性条件下线性预报失准。

Floquet 模式法（Floquet Mode Approach）

利用周期轨道的 Floquet 理论：单值矩阵 $\mathbf{M}$ 的特征结构区分不稳定、稳定和中心模态。在脉冲时刻沿不稳定特征向量施加速度增量，恰好抵消当前偏差沿不稳定方向的分量，从而实现"切除发散"而不浪费推力在稳定/中心方向（Gómez 等, 2001；Simó 等, 1987）。ARTEMIS 任务的事后分析表明，实际执行的约 60 次维持机动的 $\Delta V$ 方向与当地稳定特征向量高度对齐（Pavlak 和 Howell, 2012）——这意味着最优机动并非简单抵消不稳定模态，而是利用稳定模态将航天器自然拉回。

该方法的局限在于：它依赖周期轨道的 Floquet 分解，对拟周期轨道（如星历模型中的 NRHO）不直接适用；对稳定或近稳定的轨道（如 NRHO 的低幅值分支），不稳定分量本身很小甚至不存在，Floquet 法退化为非最优（Muralidharan 和 Howell, 2021）。

离散线性二次型调节器（DLQR）

将轨道维持建模为离散线性系统的二次型最优控制问题。以状态转移矩阵 $\mathbf{A} = \Phi(t_{k+1}, t_k)$ 和控制矩阵 $\mathbf{B}$ 构造离散动力学

\mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{A}\mathbf{x}_k + \mathbf{B}\Delta \mathbf{v}_k

然后求解离散代数 Riccati 方程得到时不变反馈增益 $\mathbf{K}$ ，使 $\Delta \mathbf{v}_k = -\mathbf{K} \mathbf{x}_k$ （详见离散线性二次调节器（DLQR））。DLQR 的优势在于计算效率高（增益可预计算存储）、不依赖标称轨道的周期结构，对拟周期轨道和星历模型中的轨道同样适用。Zhang 等（2022）的 200 次蒙特卡洛仿真表明，DLQR 在所有策略中平均成本最低（2:1 DRO：0.82 m/s/年；halo(3)：1.15 m/s/年；9:2 NRHO：1.63 m/s/年）。

x 轴控制策略（x-Axis Control）

这是 Gateway 任务当前采用的工程化方法（Muralidharan 和 Howell, 2021；Davis 等, 2017）。其核心依赖 NRHO 在会合坐标系中对 xz 平面的对称性：在 CR3BP 模型中，轨道穿过 xz 平面时 $\dot{x} = 0$ 。策略在远月点附近施加机动，目标是使航天器在下游若干圈的近月点 xz 平面穿越处的 $\dot{x}$ 值与参考轨迹匹配（容差约 0.45 m/s）。

该策略有三个可调参数，相互耦合影响性能（Muralidharan 和 Howell, 2021）：

漂移时长（coast duration）：两脉冲间的最短间隔。稳定轨道可接受较宽间隔以降低成本，不稳定轨道需频繁修正。
机动位置（maneuver location）：一般选在远月点附近——虽非动力学最敏感区（最敏感区在近月点），但导航误差在敏感区会被急剧放大，实践中反而不宜在敏感区执行机动。
目标视界（target horizon）：从机动到目标穿越的圈数。更远的目标视界产生更小幅值的机动，但受任务约束（如测控窗口）可能必须限制视界。

年化驻留成本：不同轨道的对比

年化驻留成本（Annual Station-Keeping Cost）是衡量轨道维持经济性的核心指标，定义为全年累计消耗的 $\Delta V$ （单位 m/s）。Zhang 等（2022）在完整星历模型中对三类地月典型轨道做了系统性的蒙特卡洛评估（200 次仿真，含导航误差 1 km / 1 cm/s、机动误差 1%，2 天脉冲间隔），主要结论：

轨道	周期 (天)	稳定指数 $\nu$	DLQR 年成本 (m/s)
DRO (5) — 2:1 共振	13.66	1.000（稳定）	0.82
DRO (1) — 小振幅	5.46	1.000（稳定）	1.96
halo (3) — 中等振幅	13.35	51.6（强不稳定）	1.15
halo (1) — 大振幅	14.58	349.0（极强不稳定）	1.25
NRHO (4) — 9:2 共振	6.56	1.32（近稳定）	1.63
NRHO (5) — 最低近月点	6.13	1.09（近稳定）	2.78

关键发现（Zhang 等, 2022）：稳定指数 $\nu$ 与年维持成本之间没有直接的单调关系。 稳定轨道（如 DRO， $\nu = 1$ ）并不必然比不稳定轨道（halo， $\nu \gg 1$ ）省钱——因为维持成本是导航误差、机动执行误差、SRP 建模误差和脉冲间隔的综合博弈，不稳定轨道可以通过用更高的脉冲频率"对冲"发散来实现总成本的可控。大幅值 DRO 因远离月球、动力学更平滑而成本最低（~0.82 m/s/年）；NRHO 因近月点敏感区的存在，即使 $\nu$ 接近 1，年成本也普遍高于 halo 轨道。

工程约束

实际任务规划中，几个现实约束决定了策略的可行性和优化方向（Zhang 等, 2022）：

初始入轨误差：标称轨道插入后位置偏差约 10 km，速度偏差约 1 cm/s（3 $\sigma$ ），通过随即方向分布引入蒙特卡洛仿真。
导航误差：定轨间隔通常 2 天（即脉冲间隔下限），位置误差 3 $\sigma \approx$ 1 km，速度 3 $\sigma \approx$ 1 cm/s。
机动执行误差：脉冲幅值的 1%（1 $\sigma$ ）。
最小机动阈值：实际推进系统无法执行任意小的脉冲，通常设 $\Delta v_{\min}$ = 1 cm/s，小于此阈值的指令脉冲不执行。
SRP 建模不确定性：反射系数 $C_r$ 和有效截面积各有约 5-10% 的不确定性（Muralidharan 和 Howell, 2021），是长期仿真中最大的误差源之一。

参考文献

Folta, D. C., Pavlak, T. A., Haapala, A. F., Howell, K. C., & Woodard, M. A., 2014, Earth–Moon libration point orbit stationkeeping: Theory, modeling, and operations, Acta Astronautica（ARTEMIS 任务实际站保持数据、OCS 策略、Floquet 模态与最优机动方向的对齐关系）
Folta, D., & Vaughn, F., 2004, A survey of Earth-Moon libration orbits: stationkeeping strategies and intra-orbit transfers, AIAA 2004-4741（dLQR 与 DC 方法对比，地月 L1-L5 全部平动点轨道的年成本调查）
Zhang, R., Wang, Y., Shi, Y., Zhang, C., & Zhang, H., 2022, Performance analysis of impulsive station-keeping strategies for cis-lunar orbits with the ephemeris model, Acta Astronautica（目标点法 vs. DLQR、200 次蒙特卡洛仿真、SRP 和月球非球形引力对站保持成本的影响、不同脉冲间隔的对比）
Pavlak, T. A., & Howell, K. C., 2012, Strategy for optimal, long-term stationkeeping of libration point orbits in the Earth-Moon system, AIAA 2012-4665（长期最优站保持策略、ARTEMIS 机动与稳定模态对齐的实证）
Muralidharan, V., & Howell, K. C., 2021, Stationkeeping in Earth-Moon near rectilinear halo orbits, AAS 21-651（x 轴控制策略的参数耦合分析、CGT 拉伸方向用于机动位置选取）
Gómez, G., Jorba, A., Masdemont, J., & Simó, C., 2001, Dynamics and Mission Design Near Libration Points — Vol. II（Floquet 模态法的经典来源）
Davis, D. C., et al., 2017, Stationkeeping and transfer trajectory design for spacecraft in cislunar space, AAS 17-826（Gateway 任务站保持分析的早期框架）