燃料最优控制（Fuel-optimal Control）

本文作者：天疆说

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定义

燃料最优控制是一类以推进剂消耗最少为目标的最优控制问题。在火箭方程假设下，等价于最大化终端质量或最小化速度增量总和。与 能量最优控制（minimize ∫∥u∥2dt\int\|\mathbf{u}\|^2 dt）和 时间最优控制（minimize tf−t0t_f-t_0）并列为航天器轨迹优化的三大主流性能指标，三者在 庞特里亚金极值原理 框架下导出不同结构的最优控制律（Bryson & Ho 1975；Betts 1998；Conway 2010）。

指标数学形式控制结构典型场景
燃料最优（L1L^1）J=∫t0tf∣u∣ dt=−m(tf)/cJ=\int_{t_0}^{t_f}|\mathbf{u}|\,dt=-m(t_f)/cBang-off-Bang（开关切换）小推力深空转移、动力下降
能量最优（L2L^2）J=∫t0tf∣u∣2 dtJ=\int_{t_0}^{t_f}|\mathbf{u}|^2\,dt连续光滑节流同伦法起点、功率受限
时间最优J=tf−t0J=t_f-t_0全程满推力转移时限严格的任务

其中 u=Tmax⁡ u α/m\mathbf{u}=T_{\max}\,u\,\boldsymbol{\alpha}/m 为推力加速度，u∈[0,1]u\in[0,1] 为节流比。

数学描述

动力学与性能指标

考虑中心引力场下的变质量航天器：

r˙=v,v˙=g(r)+Tmax⁡m u α,m˙=−Tmax⁡c u.\dot{\mathbf{r}}=\mathbf{v},\quad \dot{\mathbf{v}}=\mathbf{g}(\mathbf{r})+\frac{T_{\max}}{m}\,u\,\boldsymbol{\alpha},\quad \dot{m}=-\frac{T_{\max}}{c}\,u.

燃料最优取 Mayer 形式 J=−m(tf)J=-m(t_f)，等价于 Lagrange 形式 J=(Tmax⁡/c)∫u dtJ=(T_{\max}/c)\int u\,dt。哈密顿函数为

H=λrTv+λvTg+u Tmax⁡ ⁣(λvTαm−λmc).H=\boldsymbol{\lambda}_r^{\mathrm{T}}\mathbf{v}+\boldsymbol{\lambda}_v^{\mathrm{T}}\mathbf{g}+u\,T_{\max}\!\left(\frac{\boldsymbol{\lambda}_v^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}}{m}-\frac{\lambda_m}{c}\right).

最优控制律：先驱向量与切换函数

定义 先驱向量 p≡−λv\mathbf{p}\equiv-\boldsymbol{\lambda}_v 与无量纲切换函数

ρ(t)=1−c ∥p∥m−λm,\rho(t)=1-\frac{c\,\|\mathbf{p}\|}{m}-\lambda_m,

极小化 HH 给出最优推力方向 α∗=p/∥p∥\boldsymbol{\alpha}^{*}=\mathbf{p}/\|\mathbf{p}\|，最优节流为（朱政帆与高扬 2017；Caillau et al. 2012）：

u∗={0,ρ>01,ρ<0不定,ρ=0u^{*}=\begin{cases}0,&\rho>0\\1,&\rho<0\\\text{不定},&\rho=0\end{cases}

ρ=0\rho=0 对应 奇异弧（singular arc）：一阶极值条件不足以确定 uu，需用 Legendre-Clebsch 二阶条件判断。在标准燃料最优问题中奇异弧极少出现，多数解呈现 Bang-off-Bang 结构，MT 弧（u=1u=1）与 NT 弧（u=0u=0）交替，中间无中间推力段（Lawden 1963；详见 Bang-bang 控制）。

能量最优与同伦起点

能量最优性能指标对应的切换函数为 ρE=1−2εc∥p∥/m−λm\rho_E=1-2\varepsilon c\|\mathbf{p}\|/m-\lambda_m（ε\varepsilon 为同伦参数），节流连续光滑、收敛域宽。Bertrand 与 Epenoy（2002）引入带 ε\varepsilon 的代价函数

Jε=∫t0tf ⁣[u−ε u(1−u)]dt,J_\varepsilon=\int_{t_0}^{t_f}\!\bigl[u-\varepsilon\,u(1-u)\bigr]dt,

构造从 ε=1\varepsilon=1（能量最优，光滑）到 ε→0\varepsilon\to 0（燃料最优，Bang-off-Bang）的同伦路径。该路径上的子问题以前一解为初值依次求解，是间接法走向工程可解的关键桥梁，详见 同伦方法。

时间最优的特殊性

时间最优指标对控制不显含 uu，由 H≡0H\equiv 0（自由终端时间条件）和哈密顿函数对 uu 的依赖推出：节流始终取 u∗=1u^{*}=1（全程满推），推力方向由 α∗=p/∥p∥\boldsymbol{\alpha}^{*}=\mathbf{p}/\|\mathbf{p}\| 给出。这一形式使得时间最优问题没有开关切换，间接法相对易解，常用作推力幅值同伦的起点（Caillau & Daoud 2012）。

燃料-时间权衡

实际任务通常受转移时长约束。定义时间比 ctf=tf/tfmin⁡c_{t_f}=t_f/t_f^{\min}，则燃料最优剩余质量随 ctfc_{t_f} 增加而增加，但 ctf≳2c_{t_f}\gtrsim 2 后趋于饱和（Caillau et al. 2012, Fig. 4）：多出的飞行时间换取的燃料节省边际递减。设计时常在该 Pareto 前沿上选点：地质任务取 ctf≈1.5c_{t_f}\approx 1.5 偏向时间，货运任务取 ctf≈2c_{t_f}\approx 2--3 偏向燃料。

应用要点

动力下降（Powered Descent）

月球或行星动力下降是燃料最优控制的典型场景：终端状态约束为 (r(tf),v(tf))(\mathbf{r}(t_f),\mathbf{v}(t_f)) 给定，性能指标取 J=m(tf)J=m(t_f)。由极值原理导出的最优推力通常呈始终制动或 Bang-off-Bang 形态。Åström 与 Di Benedetto 等证明在标准软着陆问题中不存在非平凡奇异弧（You and Dai 2022），因此数值上可放心使用 Bang-off-Bang 假设。

地月低推力转移

地月空间小推力转移是燃料最优控制的主要应用舞台：

  • LEO 至 L1L_1/L2L_2 Halo 转移：Zhang et al.（2025）用 erf 平滑同伦求解 L1L_1 Halo 至 L2L_2 Halo 转移，燃料消耗仅占初始质量的 0.34%；
  • CR3BP 平面最小燃料：Caillau et al.（2012）用 L2L^2--L1L^1 同伦与对数障碍同伦求解 GEO 至 L1L_1/月圆轨道的 0.3 N 级转移，证明了共轭点检验的必要性；
  • 多阶段构型：长转移常分为推力段-滑行段-推力段，每段独立建 BVP 再用匹配条件连接（参见 间接法）。

轨道保持

NRHO、Halo 等平动点轨道的长期保持是周期性触发的燃料最优小问题：每发现轨道偏差超过阈值即求解一个固定时长的最小 ΔV\Delta V 修正，控制律呈现 Bang-off-Bang 特征（Zhang and Wang 2022）。

与能量-燃耗同伦的衔接

直接求解 Bang-off-Bang 燃料最优几乎不可能（控制不连续、切换次数未知），主流做法是经 能量-燃耗同伦 把连续光滑的能量最优解逐步变形为燃料最优解。三类平滑函数在文献中常用：

  • 多项式平滑（u(1−u)u(1-u)，Bertrand & Epenoy 2002）：实现最简，但低推力精度差；
  • 对数障碍（−ulog⁡u−(1−u)log⁡(1−u)-u\log u-(1-u)\log(1-u)，Caillau et al. 2012；Taheri et al. 2016）：强制 0<u<10<u<1，使哈密顿处处可微；
  • sigmoid 类（tanh⁡\tanh、代数、误差函数 erf，Zhang et al. 2025）：直接逼近 sign(ρ)\mathrm{sign}(\rho)，erf 形式收敛最快。

工程经验判据：ε∼10−5\varepsilon\sim 10^{-5} 时节流剖面与真正 Bang-off-Bang 已几乎不可分辨（Taheri et al. 2016；Zhang et al. 2025）。详见 同伦方法。

相关概念

参考文献

  • Lawden, D. F. 1963. Optimal Trajectories for Space Navigation. Butterworths, London.（三类推力弧与奇异弧分析的经典出处）
  • Bryson, A. E., and Ho, Y.-C. 1975. Applied Optimal Control. Hemisphere.（最优控制系统教材，含燃料/能量/时间三类指标对比）
  • Betts, J. T. 1998. Survey of Numerical Methods for Trajectory Optimization. JGCD 21(2): 193–207.（轨迹优化数值方法综述）
  • Conway, B. A. (ed.) 2010. Spacecraft Trajectory Optimization. Cambridge Univ. Press.（间接法、直接法与同伦法的统一教材）
  • Bertrand, R., and Epenoy, R. 2002. New Smoothing Techniques for Solving Bang–Bang Optimal Control Problems: Numerical Results and Statistical Interpretation. Optim. Control Appl. Methods 23(4): 171–197.（ε\varepsilon-平滑化性能指标的开创文献）
  • Caillau, J.-B., Cerf, M., Dujols, A., et al. 2012. Minimum Fuel Control of the Planar Circular Restricted Three-Body Problem. CEP.（CR3BP 平面最小燃料、L2L^2--L1L^1 同伦与对数障碍对比）
  • Caillau, J.-B., and Daoud, B. 2012. Minimum Time Control of the Restricted Three-Body Problem. SIAM J. Control Optim. 50(6).（时间最优与推力幅值同伦）
  • Taheri, E., Kolmanovsky, I., and Atkins, E. 2016. Enhanced Smoothing Technique for Indirect Optimization of Minimum-Fuel Low-Thrust Trajectories. JGCD 39(11): 2500–2511.（扩展对数平滑 + 协态归一化 + STM 雅可比）
  • Zhang, et al. 2025. Smoothing Technique for Indirect Low-Thrust Trajectory Optimization in Cislunar Space. Space Sci. Technol.（L1L_1--L2L_2 Halo 转移算例，erf 形式 sigmoid 比较）
  • 朱政帆, 高扬. 2017. 空间小推力轨道最优 Bang-Bang 控制的两类延拓解法综述. 深空探测学报 4(2): 101–110.
  • You, S., and Dai, R. 2022. Fuel-Optimal Trajectory Generation via Down-To-The-Moon Approach. JGCD, doi:10.2514/1.G006815.（动力下降问题无非平凡奇异弧的证明）
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Contributors: Ou Yang Jiahong, ouyangjiahong