燃料最优控制（Fuel-optimal Control）

本文作者：天疆说
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定义

燃料最优控制是一类以推进剂消耗最少为目标的最优控制问题。在火箭方程假设下，等价于最大化终端质量或最小化速度增量总和。与能量最优控制（minimize $\int\|\mathbf{u}\|^2 dt$ ）和时间最优控制（minimize $t_f-t_0$ ）并列为航天器轨迹优化的三大主流性能指标，三者在庞特里亚金极值原理框架下导出不同结构的最优控制律[200][260]，Bryson 与 Ho 1975 年对此有系统对比[217]。

指标	数学形式	控制结构	典型场景
燃料最优（ $L^1$ ）	$J=\int_{t_0}^{t_f}\|\mathbf{u}\|\,dt=-m(t_f)/c$	Bang-off-Bang（开关切换）	小推力深空转移、动力下降
能量最优（ $L^2$ ）	$J=\int_{t_0}^{t_f}\|\mathbf{u}\|^2\,dt$	连续光滑节流	同伦法起点、功率受限
时间最优	$J=t_f-t_0$	全程满推力	转移时限严格的任务

其中 $\mathbf{u}=T_{\max}\,u\,\boldsymbol{\alpha}/m$ 为推力加速度， $u\in[0,1]$ 为节流比。

数学描述

动力学与性能指标

考虑中心引力场下的变质量航天器：

\dot{\mathbf{r}}=\mathbf{v},\quad \dot{\mathbf{v}}=\mathbf{g}(\mathbf{r})+\frac{T_{\max}}{m}\,u\,\boldsymbol{\alpha},\quad \dot{m}=-\frac{T_{\max}}{c}\,u.

燃料最优取 Mayer 形式 $J=-m(t_f)$ ，等价于 Lagrange 形式 $J=(T_{\max}/c)\int u\,dt$ 。哈密顿函数为

H=\boldsymbol{\lambda}_r^{\mathrm{T}}\mathbf{v}+\boldsymbol{\lambda}_v^{\mathrm{T}}\mathbf{g}+u\,T_{\max}\!\left(\frac{\boldsymbol{\lambda}_v^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}}{m}-\frac{\lambda_m}{c}\right).

最优控制律：先驱向量与切换函数

定义先驱向量 $\mathbf{p}\equiv-\boldsymbol{\lambda}_v$ 与无量纲切换函数

\rho(t)=1-\frac{c\,\|\mathbf{p}\|}{m}-\lambda_m,

极小化 $H$ 给出最优推力方向 $\boldsymbol{\alpha}^{*}=\mathbf{p}/\|\mathbf{p}\|$ ，最优节流为[226][164]：

u^{*}=\begin{cases}0,&\rho>0\\1,&\rho<0\\\text{不定},&\rho=0\end{cases}

$\rho=0$ 对应奇异弧（singular arc）：一阶极值条件不足以确定 $u$ ，需用 Legendre-Clebsch 二阶条件判断。在标准燃料最优问题中奇异弧极少出现，多数解呈现 Bang-off-Bang 结构，MT 弧（ $u=1$ ）与 NT 弧（ $u=0$ ）交替，中间无中间推力段，见 Lawden 1963 年[452]。详见 Bang-bang 控制。

能量最优与同伦起点

能量最优性能指标对应的切换函数为 $\rho_E=1-2\varepsilon c\|\mathbf{p}\|/m-\lambda_m$ （ $\varepsilon$ 为同伦参数），节流连续光滑、收敛域宽。Bertrand 与 Epenoy（2002）引入带 $\varepsilon$ 的代价函数

J_\varepsilon=\int_{t_0}^{t_f}\!\bigl[u-\varepsilon\,u(1-u)\bigr]dt,

构造从 $\varepsilon=1$ （能量最优，光滑）到 $\varepsilon\to 0$ （燃料最优，Bang-off-Bang）的同伦路径[197]。该路径上的子问题以前一解为初值依次求解，是间接法走向工程可解的关键桥梁，详见同伦方法。

时间最优的特殊性

时间最优指标对控制不显含 $u$ ，由 $H\equiv 0$ （自由终端时间条件）和哈密顿函数对 $u$ 的依赖推出：节流始终取 $u^{*}=1$ （全程满推），推力方向由 $\boldsymbol{\alpha}^{*}=\mathbf{p}/\|\mathbf{p}\|$ 给出。这一形式使得时间最优问题没有开关切换，间接法相对易解，常用作推力幅值同伦的起点[225]。

燃料-时间权衡

实际任务通常受转移时长约束。定义时间比 $c_{t_f}=t_f/t_f^{\min}$ ，则燃料最优剩余质量随 $c_{t_f}$ 增加而增加，但 $c_{t_f}\gtrsim 2$ 后趋于饱和[226]，见该文图 4：多出的飞行时间换取的燃料节省边际递减。设计时常在该 Pareto 前沿上选点：地质任务取 $c_{t_f}\approx 1.5$ 偏向时间，货运任务取 $c_{t_f}\approx 2$ --3 偏向燃料。

应用要点

动力下降（Powered Descent）

月球或行星动力下降是燃料最优控制的典型场景：终端状态约束为 $(\mathbf{r}(t_f),\mathbf{v}(t_f))$ 给定，性能指标取 $J=m(t_f)$ 。由极值原理导出的最优推力通常呈始终制动或 Bang-off-Bang 形态[678]。Åström 与 Di Benedetto 等证明在标准软着陆问题中不存在非平凡奇异弧[678]，因此数值上可放心使用 Bang-off-Bang 假设。

地月低推力转移

地月空间小推力转移是燃料最优控制的主要应用舞台：

LEO 至 $L_1$ / $L_2$ Halo 转移：Zhang et al.（2025）用 erf 平滑同伦求解 $L_1$ Halo 至 $L_2$ Halo 转移，燃料消耗仅占初始质量的 0.34%[691]。
CR3BP 平面最小燃料：Caillau et al.（2012）用 $L^2$ -- $L^1$ 同伦与对数障碍同伦求解 GEO 至 $L_1$ /月圆轨道的 0.3 N 级转移，证明了共轭点检验的必要性。
多阶段构型：长转移常分为推力段-滑行段-推力段，每段独立建 BVP 再用匹配条件连接（参见间接法）。

轨道保持

NRHO、Halo 等平动点轨道的长期保持是周期性触发的燃料最优小问题：每发现轨道偏差超过阈值即求解一个固定时长的最小 $\Delta V$ 修正，控制律呈现 Bang-off-Bang 特征[684]。

与能量-燃耗同伦的衔接

直接求解 Bang-off-Bang 燃料最优几乎不可能（控制不连续、切换次数未知），主流做法是经能量-燃耗同伦把连续光滑的能量最优解逐步变形为燃料最优解。三类平滑函数在文献中常用：

多项式平滑，形如 $u(1-u)$ ：实现最简，但低推力精度差。
对数障碍，形如 $-u\log u-(1-u)\log(1-u)$ ：强制 $0<u<1$ ，使哈密顿处处可微[611]。
sigmoid 类，含 $\tanh$ 、代数与误差函数 erf 形式：直接逼近 $\mathrm{sign}(\rho)$ ，erf 形式收敛最快。

工程经验判据： $\varepsilon\sim 10^{-5}$ 时节流剖面与真正 Bang-off-Bang 已几乎不可分辨。详见同伦方法。