滑模控制与最优滑模控制（Sliding Mode Control and OSMC）

本文作者：天疆说
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定义

滑模控制（Sliding Mode Control, SMC）是一类变结构控制方法：在状态空间中设计一个低维流形——滑模面 $s(\boldsymbol{x},t)=0$ ，控制律在不同区域取不同结构，强制系统状态在有限时间内到达滑模面并沿之"滑动"。一旦进入滑动段，闭环行为由滑模面方程决定，对满足匹配条件（matching condition）的模型不确定性与外扰具有不变性（Utkin 1977；Slotine & Li 1991）。

最优滑模控制（Optimal Sliding Mode Control, OSMC）把 LQR 的反馈增益嵌入滑模面，使滑动段对预设的二次型指标最优；同时保留一个不连续的切换项以补偿扰动。这样兼得 LQR 的最优性与 SMC 的鲁棒性（Utkin & Shi 1996；Zhang & Wang 2022）。

SMC 的数学结构

考虑不确定系统 $\dot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{x} + \boldsymbol{B}(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{d})$ ，其中 $\boldsymbol{d}$ 为有界匹配扰动 $\|\boldsymbol{d}\|_\infty \le \bar d$ 。控制律由两部分组成

\boldsymbol{u} = \boldsymbol{u}_{eq} + \boldsymbol{u}_{sw}，

等效控制 $\boldsymbol{u}_{eq}$ ：令 $\dot{s}=0$ 解出的连续控制，描述滑动段的标称动力学；
切换控制 $\boldsymbol{u}_{sw}$ ：典型形式为 $-(\boldsymbol{G}\boldsymbol{B})^{-1}\boldsymbol{k}\,\mathrm{sgn}(\boldsymbol{s})$ ，用以在扰动下保持 $\dot{s}\,s<0$ 。

取 Lyapunov 函数 $V=\tfrac{1}{2}\boldsymbol{s}^T\boldsymbol{s}$ ，则 $\dot V = \boldsymbol{s}^T[-\boldsymbol{k}\,\mathrm{sgn}(\boldsymbol{s}) + \boldsymbol{G}\boldsymbol{d}]$ 。当选 $k_i > \bar d_i$ 时 $\dot V<0$ ，到达条件成立（Utkin 1977）。

抖振问题（chattering）。 符号函数 $\mathrm{sgn}(\cdot)$ 在切换面上高频振荡，会激发未建模动态。常用缓解手段包括：边界层（用 $\mathrm{sat}(s/\varepsilon)$ 替代 $\mathrm{sgn}$ ）、二阶/高阶滑模（如 super-twisting）、以及动态滑模面。

积分型滑模面

积分型滑模面（Integral Sliding Surface）在常规状态偏差项上加入状态偏差的积分，使滑模面包含从初始时刻起的累积偏差信息，消除稳态误差。其一般形式为

\boldsymbol{s}(\boldsymbol{x},t) = \boldsymbol{G}\big[\boldsymbol{x}(t) - \boldsymbol{x}(0)\big] - \boldsymbol{G}\int_{0}^{t}\!\big[\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}\boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{P}\big]\boldsymbol{x}(\tau)\,d\tau，

其中 $\boldsymbol{P}$ 满足 Riccati 方程。由于 $\boldsymbol{s}(\boldsymbol{x}_0,0)=0$ ，状态从初始时刻即位于滑模面上，消除了到达段（Utkin & Shi 1996）。代入 $\dot{\boldsymbol{s}}=0$ 得到的等效控制 $\boldsymbol{u}_{eq}^* = -\boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{P}\boldsymbol{x}$ 恰好等于 LQR 的最优反馈律，因此滑动段对预设的二次型指标最优。

OSMC 的工程取值与平动点保持

地月空间平动点轨道保持（DRO、Halo、NRHO）是 OSMC 的典型应用场景（Zhang & Wang 2022）。该研究采用 $\boldsymbol{G}=\boldsymbol{B}^T=[\,\boldsymbol{0}_{3\times3}\ \ \boldsymbol{I}_{3\times3}\,]$ （保证 $\boldsymbol{G}\boldsymbol{B}$ 非奇异），权矩阵取 $\boldsymbol{Q}=10\boldsymbol{I}_{6}$ 、 $\boldsymbol{R}=\boldsymbol{I}_3$ ，切换增益按扰动量级配置：

扰动源	无量纲量级	切换增益 $\boldsymbol{k}$
木星引力（弱扰）	$\sim 10^{-7}$	$2\times10^{-7}\boldsymbol{I}_3$
太阳辐射压 SRP（强扰）	$\sim 10^{-4}$	$2\times10^{-4}\boldsymbol{I}_3$

数值仿真显示：仅有入轨误差时 OSMC 与 LQR 性能相当；当 SRP 量级的强扰动存在时，LQR 的位置偏差不再收敛至零，而 OSMC 仍能在短时间内回到标称轨道附近，体现鲁棒性优势。在更现实的约束（导航误差 1 km / 1 cm/s、推进误差 2%、导航间隔 2 天、推力上界 $5\times10^{-4}$ m/s²）下，OSMC 在 9:2 NRHO 上获得 99% 的成功率，年修正量约 26 m/s。

设计要点

$k$ 必须严格大于扰动上界。 $k_i \le \bar d_i$ 时到达条件失效；但 $k$ 过大会加剧抖振、增大燃料消耗。OSMC 的实践是按扰动量级配置（如上表），与 LQR 固定增益不同。
抖振与采样/执行频率。 边界层厚度 $\varepsilon$ 应与执行机构时间常数、控制周期匹配；过小起不到平滑作用，过大等效于失去滑模特性。
匹配条件限制。 SMC 的不变性只对 $\boldsymbol{d}$ 落入 $\boldsymbol{B}$ 列空间（即匹配扰动）有效。非匹配扰动需要更高阶滑模或自适应增益。
离散时间实现。 控制周期较大时（如 NRHO 上的 2 天），离散滑模的到达条件需重新推导（Drakunov & Utkin 1989），符号函数应以 $\mathrm{sgn}$ 的离散等价形式实现。

参考文献

Utkin, V. I., 1977, "Variable structure systems with sliding modes," IEEE Trans. Autom. Control 22(2)（SMC 的奠基工作）。
Slotine, J.-J. E., Li, W., 1991, Applied Nonlinear Control（SMC 教材级讲解，含等效控制、到达条件、抖振）。
Utkin, V. I., Shi, J., 1996, "Integral sliding mode in systems operating under uncertainty conditions," Proc. IEEE Conf. Decis. Control（积分型滑模面，消除到达段）。
Drakunov, S. V., Utkin, V. I., 1989, "On discrete-time sliding modes"（离散滑模的到达条件）。
Zhang, R., Wang, Y., 2022, "Continuous-thrust station-keeping of cis-lunar orbits using optimal sliding mode control with practical constraints," Adv. Space Res.（OSMC 在 DRO/Halo/NRHO 的工程取值与蒙特卡洛验证）。
Capello, E., et al., 2017, "Sliding-mode control strategies for rendezvous and docking maneuvers"（SMC 在交会对接的应用）。