本文作者：天疆说
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滑模控制（Sliding Mode Control, SMC）是一类变结构控制方法：在状态空间中设计一个低维流形，即滑模面 s(x,t)=0，控制律在不同区域取不同结构，强制系统状态在有限时间内到达滑模面并沿之滑动。一旦进入滑动段，闭环行为由滑模面方程决定，对满足匹配条件（matching condition）的模型不确定性与外扰具有不变性，见 Utkin 1977 与 Slotine 和 Li 1991[239][629][598]。
最优滑模控制（Optimal Sliding Mode Control, OSMC）把 LQR 的反馈增益嵌入滑模面，使滑动段对预设的二次型指标最优。同时保留一个不连续的切换项以补偿扰动。这样兼得 LQR 的最优性与 SMC 的鲁棒性[684]，见 Utkin 与 Shi 1996。
考虑不确定系统 x˙=Ax+B(u+d)，其中 d 为有界匹配扰动 ∥d∥∞≤dˉ。控制律由两部分组成
u=ueq+usw，
- 等效控制 ueq：令 s˙=0 解出的连续控制，描述滑动段的标称动力学。
- 切换控制 usw：典型形式为 −(GB)−1ksgn(s)，用以在扰动下保持 s˙s<0。
取 Lyapunov 函数 V=21sTs，则 V˙=sT[−ksgn(s)+Gd]。当选 ki>dˉi 时 V˙<0，到达条件成立，见 Utkin 1977。
抖振问题（chattering）。符号函数 sgn(⋅) 在切换面上高频振荡，会激发未建模动态。常用缓解手段包括：边界层（用 sat(s/ε) 替代 sgn）、二阶/高阶滑模（如 super-twisting）、以及动态滑模面。
积分型滑模面（Integral Sliding Surface）在常规状态偏差项上加入状态偏差的积分，使滑模面包含从初始时刻起的累积偏差信息，消除稳态误差。其一般形式为
s(x,t)=G[x(t)−x(0)]−G∫0t[A−BR−1BTP]x(τ)dτ，
其中 P 满足 Riccati 方程。由于 s(x0,0)=0，状态从初始时刻即位于滑模面上，消除了到达段，见 Utkin 与 Shi 1996[628]。代入 s˙=0 得到的等效控制 ueq∗=−R−1BTPx 恰好等于 LQR 的最优反馈律，因此滑动段对预设的二次型指标最优。
地月空间平动点轨道保持（DRO、Halo、NRHO）是 OSMC 的典型应用场景。该研究采用 G=BT=[03×3 I3×3]（保证 GB 非奇异），权矩阵取 Q=10I6、R=I3，切换增益按扰动量级配置：
| 扰动源 | 无量纲量级 | 切换增益 k |
|---|
| 木星引力（弱扰） | ∼10−7 | 2×10−7I3 |
| 太阳辐射压 SRP（强扰） | ∼10−4 | 2×10−4I3 |
数值仿真显示：仅有入轨误差时 OSMC 与 LQR 性能相当。当 SRP 量级的强扰动存在时，LQR 的位置偏差不再收敛至零，而 OSMC 仍能在短时间内回到标称轨道附近，体现鲁棒性优势。在更现实的约束（导航误差 1 km / 1 cm/s、推进误差 2%、导航间隔 2 天、推力上界 5×10−4 m/s²）下，OSMC 在 9:2 NRHO 上获得 99% 的成功率，年修正量约 26 m/s。
- k 必须严格大于扰动上界。 ki≤dˉi 时到达条件失效。但 k 过大会加剧抖振、增大燃料消耗。OSMC 的实践是按扰动量级配置（如上表），与 LQR 固定增益不同。
- 抖振与采样/执行频率。边界层厚度 ε 应与执行机构时间常数、控制周期匹配。过小起不到平滑作用，过大等效于失去滑模特性。
- 匹配条件限制。 SMC 的不变性只对 d 落入 B 列空间（即匹配扰动）有效。非匹配扰动需要更高阶滑模或自适应增益。
- 离散时间实现。控制周期较大时（如 NRHO 上的 2 天），离散滑模的到达条件需重新推导，见 Drakunov 与 Utkin 1989[284]，符号函数应以 sgn 的离散等价形式实现。
