飞行时间（Time of Flight, ToF）与转移时间方程

本文作者：天疆说

本站地址：https://cislunarspace.cn

定义

飞行时间（time of flight, ToF）是航天器在两个指定状态之间飞行所用的时间——通常是两个位置向量、初始停泊轨道与目标轨道、或流形上两点之间的时间。在 Lambert 问题中，ToF 与两个位置向量共同构成三重边界条件，唯一确定一条圆锥曲线；在 CR3BP 中，ToF 由所选不变流形轨迹的几何本身决定。转移时间方程与飞行时间方程特指 Lambert 类解中把 ToF 写成轨道参数显函数的关系。剩余飞行时间（time-to-go, $t_\text{go}$）是当前状态到终端条件的剩余 ToF，作为显式制导律的参数。弹道捕获驻留时间则指弹道捕获轨道从首次近月点到逃出月球影响球的时间长度。

Lambert 问题：作为边界条件的 ToF

给定两个位置向量 $\mathbf r_0$、$\mathbf r$ 与转移角 $\Delta\nu$，Lambert 定理指出：ToF 只依赖于半长轴 $a$、距离和 $r_0 + r$ 与弦长 $c = \|\mathbf r - \mathbf r_0\|$，与具体轨道形状无关（Vallado 2022, §7.6）。引入半周长 $s = (r_0 + r + c)/2$ 与变量

椭圆情况下的飞行时间方程（Lagrange 形式）为

符号决定短路径或长路径，$n_\text{rev}$ 为完整圈数。这条转移时间方程 $\Delta t = T(a)$ 正是 Lambert 求解器迭代的核心：给定 $\Delta t$，求 $a$。

通用变量形式（Bate, Mueller & White；Battin 1999）用单一通用变量 $\chi$ 代替 $\alpha_e, \beta_e$，对椭圆、抛物线、双曲线统一成立：

其中 $z = \chi^2/a$，$C, D$ 为 Stumpff 函数。良好的初值方案（如 Thorne 基于转移角的估计）使迭代在多圈情形下仍稳定收敛。

CR3BP 中的 ToF：稳定流形转移时间

在限制性三体问题中，转移时长由稳定/不稳定流形的几何决定，而非 Lambert 圆锥曲线。对从月面沿稳定流形进入 $L_1$ 或 $L_2$ halo 轨道的转移（Alessi 等 2009）：

• 直飞转移（不绕月绕圈）：ToF ≈ 10 天，其中 ≈ 5 天用于渐近接近参考轨道；距 halo 轨道 1000 km 以内时相对速度低于 0.25 km/s。

• 每多绕月一圈，ToF 约增加 10 天。

• 积分起点取距参考 halo 轨道 70–90 km 处；不如此截断的话，流形定义本身给出无穷时间。

沿日地流形拼接的低能地月转移要长得多，典型 70–120 天（Parker & Anderson 2013），但 $\Delta v$ 更省。

最低 ToF 的阶梯式增长（地月）

从最小停泊轨道（MPO，半径约 0.20 归一化单位）到月面的转移，Liang 等（2016）给出固定雅可比能量 $C$ 下的最低 ToF：

ToF 不随 $C$ 平滑增长，而是呈阶梯状：$C \le 2.78$ 时约 3–5 天（直接转移），随后跳到 30–46 天，再跳到 60 天以上。阶梯的成因是 $L_1$ Lyapunov 轨道稳定流形只在某些近地点与 MPO 相交——第一个近地点不相交时，航天器需多走几圈 Keplerian 扭转（每圈约 11 天，对应半地月距离的 Keplerian 周期一半）才能找到交点（Liang 等 2016, §4）。

制导中的剩余飞行时间

在显式制导与最优制导律中，$t_\text{go}$ 是当前状态到终端条件的剩余 ToF，作为制导指令的参数出现。对具有 Hamilton 结构的时间最优问题，$t_\text{go}$ 由 Hamilton 终端条件解析求得（通常是四次方程）；其精度直接决定制导指令的准确性（赵弘骞等 2021）。

弹道捕获驻留时间

弹道捕获（ballistic capture）轨道无需入轨点火即可被月球临时捕获。驻留时间——从首次近月点到逃出月球影响球的时间——是捕获质量的指标。在 Sousa-Silva, Terra & Ceriotti（2018）的拼接三体模型中，积分上限 $t_\text{max} = 180$ 天；对所选取的雅可比能量与 90–400 km 近月高度，可达到 90–120 天以上的驻留。驻留越长，捕获越稳健，下游任务（下降、入轨、采样返回）的弹性越大。

相关概念

• Lambert 问题（Lambert's Problem）

• 圆形限制性三体问题（CR3BP）

• 不变流形（Invariant Manifold）

• 弹道捕获（Ballistic Capture）

• 低能转移（Low-Energy Transfer）

• 雅可比常数（Jacobi Constant）

• 驻留维持（Station-Keeping）

参考文献

• Vallado, 2022, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, §7.6——Lambert 问题、转移时间/飞行时间方程、多圈解。

• Battin, 1999, An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics（修订版）——通用变量形式与 Battin 的 Lambert 算法。

• Alessi, Cascioli, Colombo & Lizia, 2009, "Leaving the Moon by means of invariant manifolds of libration point orbits"——稳定流形转移时间的统计（直飞 ≈ 10 天，每圈 +10 天，渐近段 5 天，1000 km 内 < 0.25 km/s）。

• Liang, Xu & Xu, 2016, "The classification of cislunar trajectories and its applications in the Earth–Moon system," Astrophysics and Space Science 361:230——最低 ToF 对雅可比能量的表与阶梯增长的流形解释。

• Parker & Anderson, 2013, Low-Energy Lunar Trajectory Design——直接转移与低能转移的典型 ToF 范围。

• Sousa Silva, Terra & Ceriotti, 2018, "Fast Earth–Moon transfers with ballistic capture," Astrophys. Space Sci. 363:210——驻留时间 90–120 天。

• 赵弘骞 等，2021，基于动态规划的月面定点着陆快速制导方法——由 Hamilton 终端条件求 $t_\text{go}$。