圆形限制性三体问题

本文作者：天疆说

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定义

圆型限制性三体问题模型（Circular Restricted Three-Body Problem，CRTBP）是深空探测中最基本的动力学模型之一，也是最常用的模型，描述了一个质量可忽略的小天体在两大天体引力作用下的运动状态。假设两大天体为质点，围绕二者的共同质心做圆周运动。在地月空间中，两大天体即为地球和月球。该模型可以有效地研究平动点附近动力学特性与相空间结构。

坐标系与归一化

CRTBP 通常在地月会合坐标系（地月质心旋转坐标系）中研究。以两个主天体 P1P_1（地球）和 P2P_2（月球）的公共质心为坐标原点 OO，P1P_1 指向 P2P_2 的延长线为 xx 轴，yy 轴与 xx 轴垂直，构成右手坐标系。

为方便计算，引入无量纲化处理：

  • 特征质量 M∗=m1+m2M^* = m_1 + m_2
  • 特征长度 L∗=P1P2‾L^* = \overline{P_1 P_2}（地月平均距离）
  • 特征时间 T∗=L∗3/GM∗=ω−1T^* = \sqrt{L^{*3}/GM^*} = \omega^{-1}

质量参数定义为 μ=m2/(m1+m2)\mu = m_2/(m_1 + m_2)，其中 m2<m1m_2 < m_1。

归一化单位（CR3BP 典型单位制）

CR3BP 中常采用一套归一化单位（Canonical Units），使得问题求解与数值传播更为简洁：

符号名称定义地月系统 SI 值日地系统 SI 值
MUMU质量单位m1+m2m_1 + m_2（两主天体质量之和）6.046804×10246.046804 \times 10^{24} kg1.988800×10301.988800 \times 10^{30} kg
DUDU距离单位两主天体之间的距离 P1P2‾\overline{P_1 P_2}3.844000×1053.844000 \times 10^{5} km1.496500×1081.496500 \times 10^{8} km
TUTU时间单位DU3/(G⋅MU)\sqrt{DU^3 / (G \cdot MU)}，使得两主天体平均运动 n=1n = 13.751903×1053.751903 \times 10^{5} s5.025264×1065.025264 \times 10^{6} s

归一化后，CR3BP 的引力参数 \GM_1 = 1 - \mu、\GM_2 = \mu，两主天体绕公共质心的公转角速度 ω=1\omega = 1，轨道周期 T=2πT = 2\pi TU。在这套单位制下，轨道周期、稳定性分析等量均以归一化单位表示，便于不同系统间的轨道特性对比。

地月会合坐标系示意图

地月会合坐标系：以两个主天体的公共质心为原点，x轴沿 P₁→P₂ 方向，z轴垂直于地月轨道平面

动力学方程

在归一化后的质心旋转坐标系下，CRTBP 的动力学方程为：

{x¨−2y˙=−(1−μ)(x+μ)r13−μ(x−1+μ)r23+xy¨+2x˙=−(1−μ)yr13−μyr23+yz¨=−(1−μ)zr13−μzr23\begin{cases} \ddot{x} - 2\dot{y} = -\dfrac{(1-\mu)(x+\mu)}{r_1^3} - \dfrac{\mu(x-1+\mu)}{r_2^3} + x \\[1em] \ddot{y} + 2\dot{x} = -\dfrac{(1-\mu)y}{r_1^3} - \dfrac{\mu y}{r_2^3} + y \\[1em] \ddot{z} = -\dfrac{(1-\mu)z}{r_1^3} - \dfrac{\mu z}{r_2^3} \end{cases}

其中：

r1=(x+μ)2+y2+z2,r2=(x+μ−1)2+y2+z2r_1 = \sqrt{(x+\mu)^2 + y^2 + z^2}, \quad r_2 = \sqrt{(x+\mu-1)^2 + y^2 + z^2}

方程中 −2y˙-2\dot{y} 和 2x˙2\dot{x} 为科里奥利力项，xx 和 yy 项为离心力项。

Jacobi 常数与零速度曲面

1836 年，Jacobi 发现 CRTBP 在旋转坐标系下存在一个能量积分（Jacobi 常数 CC），是 CRTBP 中唯一存在的积分常数：

C=2Ω−v2C = 2\Omega - v^2

其中 v2=x˙2+y˙2+z˙2v^2 = \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2，有效势函数为：

Ω=x2+y22+1−μr1+μr2\Omega = \frac{x^2 + y^2}{2} + \frac{1-\mu}{r_1} + \frac{\mu}{r_2}

令速度 v=0v = 0，可得曲面方程 2Ω(x,y,z)=C2\Omega(x,y,z) = C，即零速度曲面。零速度曲面的结构随 Jacobi 常数 CC 的变化而变化：

Jacobi 常数范围探测器运动区域
C>C1C > C_1只能在两个主天体各自附近运动
C1>C>C2C_1 > C > C_2可经 L1L_1 实现两天体附近空间的转移
C2>C>C3C_2 > C > C_3可经 L2L_2 点进入外部空间
C3>CC_3 > C可从 L3L_3 点进入外部空间

Jacobi 常数和零速度曲面是描述三体系统内轨道运动的重要指标，也是任务可行性分析的基本工具。

轨道生成：打靶法与微分修正

在 CR3BP 模型中，晕轨道、Halo 轨道等三维周期轨道的初始条件无法解析给出，需要借助打靶法（Shooting Method）和微分修正（Differential Correction）进行数值求解。

基本原理

打靶法的核心思想是将两点边值问题（Two-Point Boundary Value Problem, TPBVP）转化为初值问题的迭代求解：

  1. 在某个参考流形（如 xOzxOz 平面）上选取初始猜测状态 x0\mathbf{x}_0
  2. 积分轨道至周期约束截面（如同 xOzxOz 平面再次穿越点）
  3. 计算状态偏差，通过线性化（状态转移矩阵 STM）修正初始猜测
  4. 迭代直至周期条件满足

微分修正算法

设轨道半周期积分后状态偏差为 Δxf\Delta \mathbf{x}_f，利用状态转移矩阵 Φ\boldsymbol{\Phi} 线性化：

Δxf=Φ⋅Δx0\Delta \mathbf{x}_f = \boldsymbol{\Phi} \cdot \Delta \mathbf{x}_0

通过对 Δx0\Delta \mathbf{x}_0 的选择使 Δxf\Delta \mathbf{x}_f 在指定方向上归零，逐步收敛至满足周期条件的轨道。

延拓法（Continuation）

单一打靶往往难以收敛，需配合弧长延拓法（Arc-length Continuation）逐步接近目标振幅。典型步骤：

  1. 从已知周期解（如 Az=0A_z = 0 的平面 Lyapunov 轨道）出发
  2. 逐步增大 AzA_z 振幅，每步以打靶-修正求解新轨道
  3. 在参数空间中将解链延续至目标 AzA_z 值

不同轨道族的打靶条件

轨道族对称性打靶截面自由变量
DRO关于 xx 轴对称xx 轴穿越点y˙0\dot{y}_0，周期 TT
Halo / NRHO关于 xOzxOz 平面镜像对称xOzxOz 平面穿越点z0z_0，y˙0\dot{y}_0

Zimovan (2017) 在 Purdue 大学的博士论文中系统总结了地月 L1/L2 NRHO 的单次打靶与多步打靶求解策略，是晕轨道初始条件生成的标准参考文献。

核心要素

数学定义

CR3BP 在地月会合坐标系下的动力学方程包含引力项、科里奥利力项和离心力项，质量参数 μ=m2/(m1+m2)\mu = m_2/(m_1 + m_2) 描述系统的质量分布。归一化后引力参数 GM1=1−μGM_1 = 1 - \mu、GM2=μGM_2 = \mu，公转角速度 ω=1\omega = 1。

关键性质

CR3BP 存在五个平动点（三个共线、两个三角），Jacobi 常数 C=2Ω−v2C = 2\Omega - v^2 是唯一守恒量。零速度曲面的拓扑结构随 CC 值变化，限制了航天器的可达区域。

数值方法

周期轨道的初始条件通过打靶法和微分修正进行数值求解，配合弧长延续法逐步接近目标振幅。轨道族的系统化计算采用延拓方法。

应用价值

CR3BP 是地月空间轨道设计的基础模型，可有效研究平动点附近的动力学特性与相空间结构。DRO、NRHO、Halo 等重要轨道族均在 CR3BP 框架下发现和分析，为月球门户等深空任务提供了理论基础。

相关概念

参考文献

[1] Qiao C, Long X, Yang L, et al. Orbital parameter characterization and objects cataloging for Earth-moon collinear libration points[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2025: 103869-103896.

[2] Klonowski M. Cislunar Space Situational Awareness Architecture Design and Analysis[D]. University of Colorado, 2025.

[3] Zimovan E M. Characteristics and design strategies for near rectilinear halo orbits within the Earth-moon system[D]. Purdue University, 2017.

[4] 张仁勇. 深空探测小推力低能转移轨道设计方法研究[D]. 西安: 西北工业大学, 2015.

[5] 徐明. 基于平动点理论的航天器轨道动力学与控制研究[D]. 北京: 北京航空航天大学, 2008.

[6] 侯锡云. 平动点的动力学特征及其应用[D]. 南京: 南京大学, 2008.

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Contributors: ouyangjiahong, Hermes Agent, Cron Job