圆形限制性三体问题（Circular Restricted Three-Body Problem, CR3BP）

本文作者：天疆说
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定义与分层

圆形限制性三体问题（Circular Restricted Three-Body Problem，CR3BP 或 CRTBP）是地月空间轨道动力学中应用最广泛的数学模型。它属于限制性三体问题（Restricted Three-Body Problem, R3BP）族，R3BP 是经典三体问题的一个特殊情形，作两条根本简化（Szebehely 1967；Vallado 2022）：

限制性假设：第三体（航天器）质量可忽略，受两个主天体引力作用但不反作用于主天体。
唯引力假设：仅考虑质点引力，无其他力。

CR3BP 在 R3BP 基础上进一步增加圆轨道假设：两主天体绕公共质心作匀速圆运动。若主天体实际在椭圆轨道上运动，则为椭圆限制性三体问题（ER3BP）；若圆轨道运动的假设放宽到含第四体，则进入双圆限制性四体问题（BCR4BP）。实际工程中，除非明确关注偏心率效应，限制性三体问题一词默认即指 CR3BP（Koon et al. 2011）。

会合坐标系与无量纲化

CR3BP 的标准研究框架是会合坐标系（synodic frame / rotating frame），原点在两主天体质心、随主天体连线同步旋转的参考系。在此系中：两个主天体固定在 x 轴上静止不动，运动方程化为自治系统；代价是引入科里奥利力和离心力项。坐标系细节见会合坐标系。

为消除方程中的量级差异、减少独立参数，CR3BP 惯例采用一套无量纲化（Szebehely 1967；Gómez et al. 2001）：

符号	名称	定义	地月系统 SI 值
DU	距离单位	两主天体间距 $\overline{P_1 P_2}$	$3.844 \times 10^{5}$ km
MU	质量单位	$m_1 + m_2$	$6.047 \times 10^{24}$ kg
TU	时间单位	$\sqrt{\mathrm{DU}^3 / (G \cdot \mathrm{MU})}$	$3.752 \times 10^{5}$ s (~4.34 d)

在这套单位下，引力常数 $G=1$ ，主天体公转角速度（平均运动） $n=1$ ，公转周期 $T=2\pi$ TU，唯一剩余参数是质量参数 $\mu$ 。

质量参数 $\mu$

定义较小主天体质量占总质量之比：

\mu = \frac{m_2}{m_1 + m_2}, \quad m_2 \le m_1

在会合坐标系中，较大主天体 $P_1$ 位于 $(-\mu, 0, 0)$ ，较小主天体 $P_2$ 位于 $(1-\mu, 0, 0)$ 。常用系统值（Vallado 2022）：

系统	$\mu$	备注
地月系	$0.01215$	本词典默认语境
日地系	$3.0404 \times 10^{-6}$	$L_1$ / $L_2$ 任务（JWST, SOHO）
日-木系	$9.537 \times 10^{-4}$	行星际传输研究
哥本哈根问题	$0.5$	等质量理论基准（Szebehely 1967）

$\mu$ 决定了所有平动点位置、零速度曲面拓扑和轨道族特征。 $\mu \to 0$ 的极限退化为 Hill 问题，原点移至较小主天体。

动力学方程

无量纲化后，在会合坐标系中 CR3BP 的运动方程为（Koon et al. 2011；Szebehely 1967）：

\begin{cases} \ddot{x} - 2\dot{y} = \dfrac{\partial \Omega}{\partial x} \\[1em] \ddot{y} + 2\dot{x} = \dfrac{\partial \Omega}{\partial y} \\[1em] \ddot{z} = \dfrac{\partial \Omega}{\partial z} \end{cases}

其中有效势函数 $\Omega$ （又称 pseudo-potential）为：

\Omega(x,y,z) = \frac{1}{2}(x^2 + y^2) + \frac{1-\mu}{r_1} + \frac{\mu}{r_2}

$r_1 = \sqrt{(x+\mu)^2 + y^2 + z^2}$ （到 $P_1$ 距离）， $r_2 = \sqrt{(x-1+\mu)^2 + y^2 + z^2}$ （到 $P_2$ 距离）。

方程中 $-2\dot{y}$ 和 $+2\dot{x}$ 为科里奥利力项， $\frac{1}{2}(x^2+y^2)$ 的梯度对应离心力项。科氏力与速度线性相关，对系统能量非保守贡献为零（它只改变运动方向，不做功），这正是雅可比常数保持守恒的动力学根源。

雅可比常数与运动允许域

CR3BP 仅存在一个运动积分，即雅可比常数 $C$ （Jacobi 1836）：

C = 2\Omega - v^2, \quad v^2 = \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2

该守恒量等价于旋转系中的能量： $C$ 越大，航天器动能越小，可达区域越受限。

令 $v=0$ 得零速度曲面（Zero-Velocity Surface, ZVS）： $2\Omega(x,y,z) = C$ 。在平面情况下退化为零速度曲线（ZVC）。ZVS 是在位形空间中界定航天器可达域与禁区的曲面，航天器不能在 $2\Omega < C$ 的区域存在。

ZVS 拓扑随 $C$ 值变化经历若干临界值 $C_1 > C_2 > C_3 > C_4 = C_5$ ，每个临界值对应一个平动点打开连通颈部的条件（Koon et al. 2011）：

$C$ 值范围	可达域特征
$C > C_1$	航天器被限制在 $P_1$ 或 $P_2$ 邻近的两个分立区域
$C_1 > C > C_2$	$L_1$ 颈部打开，两个主天体邻域连通
$C_2 > C > C_3$	$L_2$ 颈部打开，可达域延伸至系统外部
$C_3 > C > C_4$	$L_3$ 颈部打开，远端也连通
$C < C_4 = C_5$	全域可及，仅两主天体位置本身的碰撞奇点除外

CR3BP 的五个平动点 $L_1$ -- $L_5$ 是令 $\ddot{x} = \ddot{y} = \ddot{z} = \dot{x} = \dot{y} = \dot{z} = 0$ 的平衡解。三个共线点 $L_1$ 、 $L_2$ 、 $L_3$ 位于 x 轴上，具有鞍 $\times$ 中心 $\times$ 中心型（不稳定）；两个三角点 $L_4$ 、 $L_5$ 与主天体构成等边三角形，在地月系质量比下线性稳定。详细讨论见平动点。

二维与三维情形

平面 CR3BP

若约束航天器运动在主天体轨道平面内（ $z=\dot{z}=0$ ），系统退化为 平面圆型限制性三体问题（Planar CR3BP, PCR3BP），相空间从六维降为四维。PCR3BP 保留了 CR3BP 的全部核心动力学特征（平动点、不变流形、混沌），但因其四维相空间，可通过二维庞加莱截面直观呈现相空间结构，这是三维 CR3BP 无法直接做到的。在 PCR3BP 的庞加莱截面上，不变曲线对应（准）周期轨道，KAM 环面保持稳定，混沌海指示双曲区域。

三维 CR3BP

完整三维 CR3BP 是分析地月空间周期轨道族的标准框架。最主要的轨道族包括（Howell 1984；Zimovan 2017）：

Lyapunov 轨道：平面周期轨道，关于 x 轴和 xOz 平面对称
Halo 轨道：三维周期轨道，关于 xOz 平面镜像对称，面外分量 $A_z$ 足够大时折叠为南北两族
近直线晕轨道（NRHO）：共振准 Halo 族，近月点极低、 $L_2$ 侧使用最多（Gateway 任务轨道）
远距离逆行轨道（DRO）： $P_2$ 邻域的大振幅逆行周期轨道，稳定性优于 Lyapunov/Halo

这些轨道族通过延拓法（continuation）参数化生成，从已知解出发，沿参数方向逐步求解，配以打靶-微分修正迭代。见延拓、打靶法、微分修正。

系统间平移与相对动力学

当拼接两个不同的 CR3BP 系统（如日地系与地月系）时，需要建立两系统会合坐标系之间的转换关系，这称为三体系统平移（three-body system translation）。核心是将一个 CR3BP 中的状态向量（位置、速度）投影到另一个 CR3BP 的会合坐标系中，保持惯性系中绝对值不变。坐标原点从日地质心平移至地月质心，并在会合系间施加适当的角速度修正。

相对 CR3BP 动力学考察两航天器在同一主天体系统内的相对运动，是编队飞行和交会任务的基础。在会合系中，相对加速度方程额外包含科氏耦合项和离心力梯度效应，使相对轨道的长期演化与 Kepler 相对运动有本质区别。

扩展与变体

CR3BP 的若干重要扩展变体保留基础框架、在特定方向上增加复杂度：

ER3BP（Elliptic Restricted Three-Body Problem）：主天体偏心轨道，距离周期性变化，方程非自治，雅可比积分不再守恒。见 ER3BP。
BCR4BP（Bicircular Restricted Four-Body Problem）：在 CR3BP 基础上引入第四体（如太阳）摄动。见 BCR4BP。
CRTBP-LT（CR3BP with Low-Thrust）：在运动方程右侧加入连续小推力加速度项，用于电推进轨道优化。
SSCRTBP（Solar Sail CR3BP）：在引力项外增加太阳光压加速度，太阳帆方向角作为附加控制自由度。
受摄 CR3BP（Perturbed CR3BP）：在方程中加入 $J_2$ 、太阳辐射压、第三体引力等摄动项，用作高保真模型的中间步骤。

参考文献

Szebehely, 1967, Theory of Orbits: The Restricted Problem of Three Bodies：CR3BP 的经典著作，涵盖会合系、无量纲化、平动点、周期轨道的完整理论。
Vallado, 2022, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, 4th ed.：第 2 章讲述限制性三体问题与 N 体运动方程；第 3 章给出地月/日地会合系的坐标定义与基本平面。
Koon, Lo, Marsden & Ross, 2011, Dynamical Systems, the Three-Body Problem, and Space Mission Design：将现代动力系统方法（不变流形、庞加莱截面、异宿连接）系统地引入 CR3BP 轨道设计。
Gómez et al., 2001, Dynamics and Mission Design near Libration Points, Vol. I–IV：平动点邻域动力学与任务设计的标准参考文献，覆盖双圆问题、同伦法、太阳帆等扩展。
Howell, 1984, "Three-Dimensional, Periodic, 'Halo' Orbits"：Halo 轨道族的首次系统化数值生成与参数化。
Zimovan, 2017, Characteristics and Design Strategies for Near Rectilinear Halo Orbits within the Earth-Moon System, Purdue Ph.D.：地月 L1/L2 NRHO 求解策略的标准参考文献。