零速度曲面（Zero-Velocity Surface, ZVS）

本文作者：天疆说
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定义

由雅可比积分 $v^2 = 2\Omega - C$ 出发，令 $v=0$ ，得到位形空间中的等值面

\Omega(x,y,z) = C/2.

它就是有效势 $\Omega$ 的等值面，称作零速度曲面（zero-velocity surface, ZVS）或 Hill 曲面。在会合系的 $xy$ 平面截线称作零速度曲线（zero-velocity curve, ZVC）或 Hill 曲线（Szebehely 1967, §4.7；Vallado 2022, §12.7.3）。

零速度意指：航天器若位于此面上，其会合系速度恰好为零，它刚把全部旋转系动能换成了势能。这是航天器在该 C 值下能到达的边界。

物理意义：可达区与禁飞区

由 $v^2 = 2\Omega - C$ 知：

$2\Omega > C$ 处 $v^2 > 0$ ，可达（real velocity）；
$2\Omega < C$ 处 $v^2 < 0$ ，禁飞（forbidden region，速度为虚数）；
$2\Omega = C$ 处 $v = 0$ ，即 ZVS 本身。

航天器单凭 CR3BP 动力学无法进入禁飞区；要跨越必须施加 $\Delta v$ 把 C 降到对应阈值之下。换言之，给定 C 就给定了航天器在位形空间的活动围栏，这是限制性三体问题最直接的定性结论（Szebehely 1967, §4.7）。

拓扑随 $C$ 的演化

C 由大变小，ZVS 在五个平动点处相继开口，可达区拓扑经历五个阶段（地月系 $C_1=3.18834$ 、 $C_2=3.17216$ 、 $C_3=3.01215$ 、 $C_4=C_5=2.98800$ ；Parker & Anderson 2014, Table 2-2）：

能量范围	ZVS 形态	可达性
$C > C_1$	三块互不连通的封闭曲面	分别锁在地球附近、月球附近、外部；三者之间不能互达
$C_2 < C < C_1$	$L_1$ 处开口	地球区与月球区连通，外部仍封闭
$C_3 < C < C_2$	$L_1$ 、 $L_2$ 都开口	地月区与 $L_2$ 外侧深空连通
$C_4 < C < C_3$	$L_1$ 、 $L_2$ 、 $L_3$ 都开口	仅剩 $L_4$ 、 $L_5$ 处两个小禁飞岛
$C \le C_4=C_5$	ZVS 消失	全空间可达

C 在 $C_1$ 、 $C_2$ 、 $C_3$ 、 $C_4$ 处的开口对应 $\Omega$ 在该平动点的鞍点结构，这正是 $\Omega$ 的鞍点成为能量阈值口的几何原因。

颈口与转移通道

$L_1$ 、 $L_2$ 、 $L_3$ 处的开口被形象地称为颈口（neck）或能量通道：

$L_1$ 颈口：连通地球附近与月球附近，是低能地月转移（如 Halo 入轨、流形拼接地月转移）的几何咽喉。
$L_2$ 颈口：连通地月系内部与月球外侧深空，是月球背面通信中继（如 NRHO）和地月→日地流形拼接的出发口。
$L_3$ 颈口：连通地月系与地球反向外部空间，工程上较少使用。

颈口附近的动力学由该平动点的不稳定/稳定不变流形主导：同 C 下两周期轨道的不变流形能否在相空间相交，决定了它们之间是否存在零消耗转移（Parker & Anderson 2014, §2.6）。

截面与可视化

$xy$ 截面（最常用）：即 Hill 曲线，给出主天体轨道面内的可达轮廓。地月系下 $C=3.18$ 的曲线在 $L_1$ 处刚好接触、 $C=3.0$ 的曲线只剩 $L_{4,5}$ 处两个小岛（Parker & Anderson 2014, Fig. 2-3；Vallado 2022, Fig. 12-14）。
$xz$ 截面：揭示平面外运动同样受限：靠近主天体处禁飞层很薄，远离时变厚（Vallado 2022, Fig. 12-16；Lundberg et al. 1985）。
三维表示：把 $\Omega$ 作为 $z=\Omega(x,y)$ 的曲面绘出，主天体处呈无穷高峰， $L_{4,5}$ 处呈最低洼地， $L_{1,2,3}$ 处呈鞍形山口，这是 Deprit 经典示意图的内容（Szebehely 1967, Fig. 4.30）。

应用

转移可行性判定：比较初末两段轨道的 C，若位于不同拓扑区段则需 $\Delta v$ 把 C 跨过对应 $C_i$ ；这是任务设计前期的零次筛选。
最小能量预算：把 C 从近地停泊轨道降到 $C_1$ 以下所需的最小 $\Delta v$ ，由 $\Delta C = -2\,\mathbf v\cdot\Delta\mathbf v$ （见雅可比积分）可估出下界。
流形拼接：周期轨道的不变流形在固定 C 下演化，ZVS 颈口的大小决定流形能伸展到何处、能否与下一段流形相接（Koon et al. 2011）。
禁飞区规避：在某些任务中（如月球脉冲星导航星座），刻意把 C 维持在 $C_1$ 之上、把航天器锁在地球或月球附近，可避免漂入平动点邻域。

易混点

ZVS 不是 $\Omega$ 的图像：ZVS 是 $\Omega=C/2$ 这一张特定的等值面，而 $\Omega$ 本身的图像（如 Deprit 的三维表示）是另一回事，后者只是帮助想象 $\Omega$ 形状的可视化工具。
ZVS 随 C 而变，不是固定曲面：每一颗航天器有自己的 C，因此有自己的 ZVS；不同轨道族绘在同一张 Hill 曲线图上时，对应不同的 C 值。
C 不变时不能穿越：航天器的轨迹（在位形空间）不会穿过自己的 ZVS，要穿过必须靠 $\Delta v$ 改变 C。

参考文献

Szebehely V. Theory of Orbits: The Restricted Problem of Three Bodies. Academic Press, 1967, Ch. 4 (Curves of Zero Velocity).
Vallado D. A. Fundamentals of Astrodynamics and Applications. 5th ed., 2022, §12.7.3.
Parker J. S., Anderson R. L. Low-Energy Lunar Trajectory Design. JPL, 2014, Ch. 2.
Lundberg J. S., Szebehely V., Whipple C. "Surfaces of zero velocity in the restricted problem of three bodies." Celestial Mechanics, 1985.
Koon W. S., Lo M. W., Marsden J. E., Ross S. D. Dynamical Systems, the Three-Body Problem and Space Mission Design. 2nd ed., 2011.
Oshima K. "A hidden barrier surface complementary to the zero velocity surface in the circular restricted three-body problem." 2024.