零速度曲面（Zero-Velocity Surface, ZVS）

本文作者：天疆说
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定义

由雅可比积分 $v^2 = 2\Omega - C$ 出发，令 $v=0$ ，得到位形空间中的等值面

\Omega(x,y,z) = C/2.

它就是有效势 $\Omega$ 的等值面，称作零速度曲面（zero-velocity surface, ZVS）或 Hill 曲面。在会合系的 $xy$ 平面截线称作零速度曲线（zero-velocity curve, ZVC）或 Hill 曲线[608][631]。

零速度意指：航天器若位于此面上，其会合系速度恰好为零，它刚把全部旋转系动能换成了势能。这是航天器在该 C 值下能到达的边界。

由 $v^2 = 2\Omega - C$ 知：

航天器单凭 CR3BP 动力学无法进入禁飞区。要跨越必须施加 $\Delta v$ 把 C 降到对应阈值之下。换言之，给定 C 就给定了航天器在位形空间的活动围栏，这是限制性三体问题最直接的定性结论。

C 由大变小，ZVS 在五个平动点处相继开口，可达区拓扑经历五个阶段，其中地月系 $C_1=3.18834$ 、 $C_2=3.17216$ 、 $C_3=3.01215$ 、 $C_4=C_5=2.98800$ [525]：

C 在 $C_1$ 、 $C_2$ 、 $C_3$ 、 $C_4$ 处的开口对应 $\Omega$ 在该平动点的鞍点结构，这正是 $\Omega$ 的鞍点成为能量阈值口的几何原因。

$L_1$ 、 $L_2$ 、 $L_3$ 处的开口被形象地称为颈口（neck）或能量通道：

颈口附近的动力学由该平动点的不稳定/稳定不变流形主导：同 C 下两周期轨道的不变流形能否在相空间相交，决定了它们之间是否存在零消耗转移。

$xy$ 截面（最常用）：即 Hill 曲线，给出主天体轨道面内的可达轮廓。地月系下 $C=3.18$ 的曲线在 $L_1$ 处刚好接触、 $C=3.0$ 的曲线只剩 $L_{4,5}$ 处两个小岛。
$xz$ 截面：揭示平面外运动同样受限：靠近主天体处禁飞层很薄，远离时变厚[475]。
三维表示：把 $\Omega$ 作为 $z=\Omega(x,y)$ 的曲面绘出，主天体处呈无穷高峰， $L_{4,5}$ 处呈最低洼地， $L_{1,2,3}$ 处呈鞍形山口，这是 Deprit 经典示意图的内容。

转移可行性判定：比较初末两段轨道的 C，若位于不同拓扑区段则需 $\Delta v$ 把 C 跨过对应 $C_i$ 。这是任务设计前期的零次筛选。
最小能量预算：把 C 从近地停泊轨道降到 $C_1$ 以下所需的最小 $\Delta v$ ，由 $\Delta C = -2\,\mathbf v\cdot\Delta\mathbf v$ （见雅可比积分）可估出下界。
流形拼接：周期轨道的不变流形在固定 C 下演化，ZVS 颈口的大小决定流形能伸展到何处、能否与下一段流形相接[441]。
禁飞区规避：在某些任务中（如月球脉冲星导航星座），刻意把 C 维持在 $C_1$ 之上、把航天器锁在地球或月球附近，可避免漂入平动点邻域。

ZVS 不是 $\Omega$ 的图像：ZVS 是 $\Omega=C/2$ 这一张特定的等值面，而 $\Omega$ 本身的图像（如 Deprit 的三维表示）是另一回事，后者只是帮助想象 $\Omega$ 形状的可视化工具。
ZVS 随 C 而变，不是固定曲面：每一颗航天器有自己的 C，因此有自己的 ZVS。不同轨道族绘在同一张 Hill 曲线图上时，对应不同的 C 值。
C 不变时不能穿越：航天器的轨迹（在位形空间）不会穿过自己的 ZVS，要穿过必须靠 $\Delta v$ 改变 C[515]。