协态变量与共轭方程（Costate Variables and Adjoint Equations）

本文作者：天疆说

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定义

协态变量（costate variables，又称伴随变量 adjoint variables、共轭变量 conjugate variables、与状态变量配对的拉格朗日乘子）是最优控制问题中为施加动力学约束而引入的对偶变量[198][217][196]。它们不对应任何可直接测量的物理量。几何意义是性能指标对状态的灵敏度，即 λi(t)=∂J∗/∂xi(t)\lambda_i(t)=\partial J^*/\partial x_i(t)，见 Bryson 与 Ho 1975 和 Betts 2010。庞特里亚金极值原理（PMP）通过 Hamilton 函数把协态与状态耦合为正则方程，使最优控制问题转化为以 (x,λ)(\mathbf{x},\boldsymbol{\lambda}) 为变量的两点边值问题（TPBVP）。共轭方程、共轭动量、共轭变量、协态归一化、协态-控制变换等概念，都是这套对偶框架在不同问题结构下的具体化。

Hamilton 形式与伴随方程

设系统 x˙=f(x,u,t)\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x},\mathbf{u},t)，性能指标 J=Φ(x(tf),tf)+∫t0tfL dtJ=\Phi(\mathbf{x}(t_f),t_f)+\int_{t_0}^{t_f} L\,dt。引入协态 λ∈Rn\boldsymbol{\lambda}\in\mathbb{R}^n 构造控制 Hamilton 函数 H=L+λ ⁣⊤fH=L+\boldsymbol{\lambda}^{\!\top}\mathbf{f}。PMP 中与协态相关的两条必要条件由 Conway[260] 第 1 章与 Betts 2010 给出：

  1. 伴随方程 λ˙=−∂H/∂x\dot{\boldsymbol{\lambda}}=-\partial H/\partial\mathbf{x}。
  2. 横截条件 λ(tf)=∂Φ/∂x∣tf+(∂Ψ/∂x) ⁣⊤ν\boldsymbol{\lambda}(t_f)=\partial \Phi/\partial\mathbf{x}|_{t_f}+(\partial\boldsymbol{\Psi}/\partial\mathbf{x})^{\!\top}\boldsymbol{\nu}，其中 Ψ(x(tf),tf)=0\boldsymbol{\Psi}(\mathbf{x}(t_f),t_f)=0 是终端等式约束，ν\boldsymbol{\nu} 为对应拉格朗日乘子。终端时刻 tft_f 自由时还需补充 H(tf)=0H(t_f)=0（参数条件）。

状态方程 x˙=∂H/∂λ\dot{\mathbf{x}}=\partial H/\partial\boldsymbol{\lambda} 与伴随方程共同构成 2n2n 维 Hamilton 正则系统，与极小化条件及横截条件联立定义最优轨迹。

航天器轨迹优化中的协态分量

以连续推力航天器为例，状态 x=(r,v,m)\mathbf{x}=(\mathbf{r},\mathbf{v},m)，控制 u=(T^,T)\mathbf{u}=(\hat{\mathbf{T}},T)：

H=L+λr ⁣⊤v+λv ⁣⊤(g(r)+TT^/m)−λmT/(Ispg0).H=L+\boldsymbol{\lambda}_r^{\!\top}\mathbf{v}+\boldsymbol{\lambda}_v^{\!\top}(\mathbf{g}(\mathbf{r})+T\hat{\mathbf{T}}/m)-\lambda_m T/(I_{sp}g_0).

  • 位置协态 λr\boldsymbol{\lambda}_r：λ˙r=−∂H/∂r\dot{\boldsymbol{\lambda}}_r=-\partial H/\partial\mathbf{r}，由引力梯度驱动。
  • 速度协态 λv\boldsymbol{\lambda}_v：当 HH 不显含 v\mathbf{v} 时 λ˙v=−λr\dot{\boldsymbol{\lambda}}_v=-\boldsymbol{\lambda}_r。最优推力方向为 −λv/∥λv∥-\boldsymbol{\lambda}_v/\|\boldsymbol{\lambda}_v\|，因此 −λv-\boldsymbol{\lambda}_v 即 引燃矢量，见 Lawden 1963 与 Conway 2010 第 2 章[452]。
  • 质量协态 λm\lambda_m：λ˙m=∥λv∥T/m2≥0\dot{\lambda}_m=\|\boldsymbol{\lambda}_v\|T/m^2\geq 0，单调上升。切换函数 ρ=1−λmIspg0/m−∥λv∥\rho=1-\lambda_m I_{sp}g_0/m-\|\boldsymbol{\lambda}_v\| 的符号决定 TT 取上限还是零，由此导出 bang-bang / bang-off-bang 控制律（见 Bang-bang 控制）。

协态归一化

对自由末态问题，(λ(t0),λ0)(\boldsymbol{\lambda}(t_0),\lambda_0) 可乘以任意正常数而不改变最优轨迹，即 PMP 的齐次性。利用这一冗余自由度把 λ(t0)\boldsymbol{\lambda}(t_0) 约束在单位球面 ∥λ(t0)∥=1\|\boldsymbol{\lambda}(t_0)\|=1（或令某一分量为 1）即协态归一化[617][514]。归一化把搜索维度从 nn 降至 n−1n-1，并避免不同分量量纲差异导致的条件数恶化。对最小时间问题 Φ=tf\Phi=t_f，Hamiltonian 齐次性消失，归一化条件 H≡−1H\equiv -1 取而代之。对最小燃料问题 L=T/(Ispg0)L=T/(I_{sp}g_0)，齐次性保持。

协态-控制变换

间接法的初始协态猜测没有物理意义，初值域难以估计。协态-控制变换（adjoint-control transformation）[434]把设计变量从 λ(t0)\boldsymbol{\lambda}(t_0) 改为推力方向角 (α,β)(\alpha,\beta) 及其变化率 (α˙,β˙)(\dot\alpha,\dot\beta) 的初值，加上 λv\lambda_v、λ˙v\dot\lambda_v、λm\lambda_m 等少数标量。这些伴随控制变量具有直接物理意义，便于工程师给出合理猜测。隐式协态变换[550]是多弧段问题的对应技术：用闭合形式关系将上一弧段末端协态映射到下一弧段始端，避免独立求解每个弧段的角点条件。

协态初值敏感性

间接法的核心难点是 λ(t0)\boldsymbol{\lambda}(t_0) 数值上极不稳定，微小扰动会引起轨迹在 tft_f 处发散。初始协态轨迹（optimal initial costate locus）刻画 λ(t0)\boldsymbol{\lambda}(t_0) 随问题参数（推力加速度、目标半径）变化的曲线族，在抛物、椭圆、螺旋等不同运动区域呈现不同特征。实践中通常以 同伦方法 从易解的 energy-optimal 问题出发，逐步过渡到 fuel-optimal 问题[432]。

应用要点

  • 间接法的根本瓶颈在于协态初值的猜测与同伦路径规划，比状态初值困难一个量级。
  • 大范围转移中 λm\lambda_m 数值跨度大，常通过对数化或独立归一化避免病态。
  • CR3BP-LT 的控制 Hamilton 函数 Hlt=Hnat−λ ⁣⊤altH_{lt}=H_{nat}-\boldsymbol{\lambda}^{\!\top}\mathbf{a}_{lt}（alt\mathbf{a}_{lt} 为低推力加速度），在 alt\mathbf{a}_{lt} 旋转系下固定时为新的守恒量[261]。

相关概念

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