协态变量与共轭方程（Costate Variables and Adjoint Equations）

本文作者：天疆说
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定义

协态变量（costate variables，又称伴随变量 adjoint variables、共轭变量 conjugate variables、与状态变量配对的拉格朗日乘子）是最优控制问题中为施加动力学约束而引入的对偶变量。它们不对应任何可直接测量的物理量；几何意义是性能指标对状态的灵敏度，即 $\lambda_i(t)=\partial J^*/\partial x_i(t)$ （Bryson & Ho 1975；Betts 2010）。庞特里亚金极值原理（PMP）通过 Hamilton 函数把协态与状态耦合为正则方程，使最优控制问题转化为以 $(\mathbf{x},\boldsymbol{\lambda})$ 为变量的两点边值问题（TPBVP）。共轭方程、共轭动量、共轭变量、协态归一化、协态-控制变换等概念，都是这套对偶框架在不同问题结构下的具体化。

Hamilton 形式与伴随方程

设系统 $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x},\mathbf{u},t)$ ，性能指标 $J=\Phi(\mathbf{x}(t_f),t_f)+\int_{t_0}^{t_f} L\,dt$ 。引入协态 $\boldsymbol{\lambda}\in\mathbb{R}^n$ 构造控制 Hamilton 函数 $H=L+\boldsymbol{\lambda}^{\!\top}\mathbf{f}$ 。PMP 中与协态相关的两条必要条件是（Conway 2010, Ch.1；Betts 2010）：

伴随方程 $\dot{\boldsymbol{\lambda}}=-\partial H/\partial\mathbf{x}$ 。
横截条件 $\boldsymbol{\lambda}(t_f)=\partial \Phi/\partial\mathbf{x}|_{t_f}+(\partial\boldsymbol{\Psi}/\partial\mathbf{x})^{\!\top}\boldsymbol{\nu}$ ，其中 $\boldsymbol{\Psi}(\mathbf{x}(t_f),t_f)=0$ 是终端等式约束， $\boldsymbol{\nu}$ 为对应拉格朗日乘子。终端时刻 $t_f$ 自由时还需补充 $H(t_f)=0$ （参数条件）。

状态方程 $\dot{\mathbf{x}}=\partial H/\partial\boldsymbol{\lambda}$ 与伴随方程共同构成 $2n$ 维 Hamilton 正则系统，与极小化条件及横截条件联立定义最优轨迹。

航天器轨迹优化中的协态分量

以连续推力航天器为例，状态 $\mathbf{x}=(\mathbf{r},\mathbf{v},m)$ ，控制 $\mathbf{u}=(\hat{\mathbf{T}},T)$ ：

H=L+\boldsymbol{\lambda}_r^{\!\top}\mathbf{v}+\boldsymbol{\lambda}_v^{\!\top}(\mathbf{g}(\mathbf{r})+T\hat{\mathbf{T}}/m)-\lambda_m T/(I_{sp}g_0).

位置协态 $\boldsymbol{\lambda}_r$ ： $\dot{\boldsymbol{\lambda}}_r=-\partial H/\partial\mathbf{r}$ ，由引力梯度驱动。
速度协态 $\boldsymbol{\lambda}_v$ ：当 $H$ 不显含 $\mathbf{v}$ 时 $\dot{\boldsymbol{\lambda}}_v=-\boldsymbol{\lambda}_r$ 。最优推力方向为 $-\boldsymbol{\lambda}_v/\|\boldsymbol{\lambda}_v\|$ ，因此 $-\boldsymbol{\lambda}_v$ 即引燃矢量（Lawden 1963；Conway 2010, Ch.2）。
质量协态 $\lambda_m$ ： $\dot{\lambda}_m=\|\boldsymbol{\lambda}_v\|T/m^2\geq 0$ ，单调上升。切换函数 $\rho=1-\lambda_m I_{sp}g_0/m-\|\boldsymbol{\lambda}_v\|$ 的符号决定 $T$ 取上限还是零，由此导出 bang-bang / bang-off-bang 控制律（见 Bang-bang 控制）。

协态归一化

对自由末态问题， $(\boldsymbol{\lambda}(t_0),\lambda_0)$ 可乘以任意正常数而不改变最优轨迹，即 PMP 的齐次性。利用这一冗余自由度把 $\boldsymbol{\lambda}(t_0)$ 约束在单位球面 $\|\boldsymbol{\lambda}(t_0)\|=1$ （或令某一分量为 1）即协态归一化（Thorne 1996；Oshima et al. 2017）。归一化把搜索维度从 $n$ 降至 $n-1$ ，并避免不同分量量纲差异导致的条件数恶化。对最小时间问题 $\Phi=t_f$ ，Hamiltonian 齐次性消失，归一化条件 $H\equiv -1$ 取而代之；对最小燃料问题 $L=T/(I_{sp}g_0)$ ，齐次性保持。

协态-控制变换

间接法的初始协态猜测没有物理意义，初值域难以估计。协态-控制变换（adjoint-control transformation，Kluever & Pierson 1995；Conway 2010, Ch.4）把设计变量从 $\boldsymbol{\lambda}(t_0)$ 改为推力方向角 $(\alpha,\beta)$ 及其变化率 $(\dot\alpha,\dot\beta)$ 的初值，加上 $\lambda_v$ 、 $\dot\lambda_v$ 、 $\lambda_m$ 等少数标量。这些伴随控制变量具有直接物理意义，便于工程师给出合理猜测。隐式协态变换（Pozzi et al. 2025）是多弧段问题的对应技术：用闭合形式关系将上一弧段末端协态映射到下一弧段始端，避免独立求解每个弧段的角点条件。

协态初值敏感性

间接法的核心难点是 $\boldsymbol{\lambda}(t_0)$ 数值上极不稳定，微小扰动会引起轨迹在 $t_f$ 处发散。初始协态轨迹（optimal initial costate locus）刻画 $\boldsymbol{\lambda}(t_0)$ 随问题参数（推力加速度、目标半径）变化的曲线族，在抛物、椭圆、螺旋等不同运动区域呈现不同特征（Thorne 1996）。实践中通常以同伦方法从易解的 energy-optimal 问题出发，逐步过渡到 fuel-optimal 问题。

应用要点

间接法的根本瓶颈在于协态初值的猜测与同伦路径规划，比状态初值困难一个量级。
大范围转移中 $\lambda_m$ 数值跨度大，常通过对数化或独立归一化避免病态。
CR3BP-LT 的控制 Hamilton 函数 $H_{lt}=H_{nat}-\boldsymbol{\lambda}^{\!\top}\mathbf{a}_{lt}$ （ $\mathbf{a}_{lt}$ 为低推力加速度），在 $\mathbf{a}_{lt}$ 旋转系下固定时为新的守恒量（Cox et al. 2021）。

参考文献

Bryson, A. E., & Ho, Y.-C. (1975). Applied Optimal Control.
Lawden, D. F. (1963). Optimal Trajectories for Space Navigation.
Betts, J. T. (2010). Practical Methods for Optimal Control and Estimation Using Nonlinear Programming, 2nd ed.
Conway, B. A. (Ed.) (2010). Spacecraft Trajectory Optimization, Ch. 1–2, 4.
Thorne, J. D. (1996). Optimal continuous-thrust orbit transfers. Acta Astronautica, 38(8), 565–578.
Kluever, C. A., & Pierson, B. L. (1995). Optimal Earth-Moon trajectories using nuclear electric propulsion. JGCD.
Oshima, K., et al. (2017). Earth-Moon transfer trajectories … JGCD.
Cox, A. B., et al. (2021). CR3BP with low-thrust.
Pozzi, E., et al. (2025). Implicit costate transformation for multi-arc optimal control.