控制参数化与节流因子（Control Parametrization, B-Spline, Spherical Variables and Throttle）

本文作者：天疆说
本站地址：https://cislunarspace.cn

定义

控制参数化（control parametrization）是把无限维的连续推力控制 $\boldsymbol{u}(t)$ 表达为有限个参数的方法。设 $\boldsymbol{u}(t) = \sum_{i} c_i\,\phi_i(t)$ ，其中 $\{\phi_i\}$ 是选定的基函数族、 $\{c_i\}$ 是待优化系数，最优控制问题就被转化为关于 $\{c_i\}$ 的非线性规划（NLP）。常用基函数族包括多项式、Fourier 级数、B 样条。节流因子/油门函数 是低推力发动机特有的标量/函数形式参数化，描述推力幅值随时间的变化。

多项式与 Fourier 基

最简单的参数化。多项式基 $\phi_i(t) = t^i$ 适合光滑控制，但高阶时数值病态；改用 Chebyshev 或 Legendre 多项式可改善条件数。Fourier 基 $\phi_i(t)=\cos(i\omega t), \sin(i\omega t)$ 适合周期性控制（如平动点轨道保持）。这两种基的缺点是全局支撑——改变一个系数会影响整段控制剖面，难以表达局部突变（如推力开关）。

B 样条参数化

B 样条（B-spline）用分段多项式和有限支撑基函数表达控制信号，是轨迹优化中最常用的参数化形式。设控制信号表示为

\boldsymbol{u}(t) = \sum_{i} \boldsymbol{P}_i\,B_{i,q}(t),

其中 $\boldsymbol{P}_i$ 是控制点（优化变量）， $B_{i,q}(t)$ 是 $q$ 阶（ $q-1$ 次）B 样条基函数。关键性质：

局部支撑。 每个 $B_{i,q}$ 仅在 $q$ 个节点区间非零，调整一个控制点只影响局部——这点优于全局基，特别适合含推力开关的转移。
连续阶。 内部节点不重复时 $q$ 阶 B 样条保证 $C^{q-1}$ 连续；重复节点会降低该处的连续阶，可用于表达推力的不连续（如多模式推进的开关切换）。
凸包性。 B 样条曲线位于控制点凸包内，便于施加推力幅值约束。

Sanchez 等（2020）将 B 样条用于轨迹优化与姿态控制，可与直接配点或 HDDP 配合。

球面控制变量（Spherical Control Variables）

在 CR3BP 小推力优化中，HDDP（Aziz 等 2019）采用球面参数化：把推力分解为幅值 $T$ 与两个方向角 $\alpha,\beta$

\boldsymbol{u} = [T,\alpha,\beta]^T,

方向角定义在径向-横向-法向（RSW）坐标系下，转换到会合系为

\begin{bmatrix}T_r\\T_s\\T_w\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} T\sin\alpha\cos\beta\\T\cos\alpha\cos\beta\\T\sin\beta\end{bmatrix},\qquad \boldsymbol{T}_{syn} = [\hat{\boldsymbol{r}}_2\ \hat{\boldsymbol{s}}\ \hat{\boldsymbol{w}}]\boldsymbol{T}_{RSW}。

优点：把幅值与方向解耦，幅值约束 $0\le T\le T_{\max}$ 简单，信赖域缩放可对幅值（按 $T_{\max}$ 归一）与角度（允许较大步长）独立设置。

坐标退化处理：当位置矢量 $\boldsymbol{r}_2$ 与速度矢量共线时，RSW 基无法定义（ $\hat{\boldsymbol{s}},\hat{\boldsymbol{w}}$ 不确定），此时切换为笛卡尔控制 $\boldsymbol{u}=[T_x,T_y,T_z]^T$ 。

节流因子与油门函数

节流因子（throttle factor）是低推力发动机的无量纲推力幅值变量 $u\in[0,1]$ ， $u=0$ 表示关机、 $u=1$ 表示满推力，与方向角解耦。其最优值由庞特里亚金最小值原理给出的切换函数决定：

时间最优控制：节流恒为 1（始终满推）。
燃料最优控制：节流呈 bang-bang 形式，由切换函数符号决定 0 或 1，等价于能量最优同伦的极限。
能量最优控制：节流连续取值，由协态变量和同伦参数共同决定。

Du 等（2024）、Tu 等（2025）等给出 CR3BP 低推力轨道碰撞规避、Halo 转移的节流剖面实例。

油门函数（throttle function） 是节流因子在多模式推进系统中的推广。Zhang Z 等（2026）的双模式电推进系统用两个油门函数 $\delta_{P1}(t),\delta_{P2}(t)\in\{0,1\}$ 决定每种模式的开关状态，由庞特里亚金最小值原理导出 bang-bang 解。在间接法框架下，油门函数是最优控制的显式表达，而非外部施加的参数化。

应用要点

选基函数匹配物理。 含推力开关的转移用 B 样条（局部支撑）或离散化切换函数；光滑连续低推力用 Fourier/Chebyshev。
球面 vs 笛卡尔。 球面变量对方向信赖域友好、对幅值约束自然，但需处理 RSW 退化；笛卡尔变量无退化问题但幅值约束为非凸（ $\|\boldsymbol{T}\|\le T_{\max}$ ）。
节流的优化变量性质。 在间接法中节流由切换函数解析给出，不是优化变量；在直接法中节流在每个配点上是独立的优化变量，受路径约束 $0\le u_k\le 1$ 。
B 样条阶数选取。 低推力通常取 3–5 阶（ $C^2$ – $C^4$ ）；阶数过高引入数值病态，过低无法表达所需的推力变化率。
节点重复表达不连续。 多模式推进开关处可重复节点降低连续阶。

参考文献

de Boor, C., 1978, A Practical Guide to Splines（B 样条数学基础）。
Sanchez, P., et al., 2020（B 样条控制参数化在轨迹优化与姿态控制中的应用）。
Aziz, J. D., Scheeres, D. J., Lantoine, G., 2019, "Hybrid Differential Dynamic Programming in the CR3BP," JGCD（球面控制变量、RSW 退化切换、信赖域缩放）。
Colagrossi, A., et al., 2021, "Guidance, navigation and control for 6DOF rendezvous in cislunar multi-body environment"（控制参数化与 6DOF 交会）。
Du, L., et al., 2023, "Two trajectory configurations for the low-thrust transfer between northern and southern halo orbits"（节流因子在 Halo 转移中的应用）。
Du, L., et al., 2024, "A novel calculation method for low-thrust transfer trajectories in the Earth-Moon restricted three-body problem"（节流参数与切换函数）。
Tu, X., et al., 2025, "Optimal control for low-thrust collision avoidance in CRTBP"（节流因子在碰撞规避中的应用）。
Zhang, Z., et al., 2026, Space Sci. Technol. 6:0441（双模式电推进的油门函数与 bang-bang 解）。