伪谱法（Pseudospectral Method）

本文作者：天疆说
本站地址：https://cislunarspace.cn

定义

伪谱法（pseudospectral method，又称谱配点法 spectral collocation）是直接法中的一类：把整个时间区间映射到 $[-1,1]$ ，用单一高阶全局 Lagrange 多项式插值状态 $\mathbf{x}(\tau)$ 与控制 $\mathbf{u}(\tau)$ ，在正交节点处强制满足动力学。配点取 Legendre 多项式的根（或根 + 端点），节点数 $N$ 通常取 20~100 每相，可以远少于直接配点法的总节点数。对所有光滑函数都有谱（指数）收敛性，见 Canuto 等 1988 与 Fornberg 1998[235][314]。

数学形式

把连续时间 $t\in[t_0,t_f]$ 映射到 $\tau\in[-1,1]$ ：

t = \frac{t_f-t_0}{2}\tau + \frac{t_f+t_0}{2}.

取 $N+1$ 个正交节点 $\{-1=\tau_0<\tau_1<\dots<\tau_N=1\}$ （具体分布见下节），状态在节点上的值 $\{\mathbf{x}_k\}_{k=0}^N$ 为 NLP 变量。状态近似为

\mathbf{x}(\tau)\approx\sum_{k=0}^{N} L_k(\tau)\,\mathbf{x}_k,\quad L_k(\tau)=\prod_{\substack{j=0\\j\neq k}}^{N}\frac{\tau-\tau_j}{\tau_k-\tau_j}

为 Lagrange 基函数。其导数在节点处的值由微分矩阵 $\mathbf{D}$ 一次计算给出：

\dot{\mathbf{x}}(\tau_i)\approx\sum_{k=0}^{N} D_{ik}\,\mathbf{x}_k,\quad D_{ik}=\dot{L}_k(\tau_i).

伪谱缺陷约束（仍称 defect）为

\boldsymbol{\zeta}_i = \sum_{k=0}^{N} D_{ik}\,\mathbf{x}_k - \frac{t_f-t_0}{2}\,\mathbf{f}(\mathbf{x}_i,\mathbf{u}_i,\tau_i) = \mathbf{0},\quad i=0,\dots,N.

注意：与直接配点法不同，伪谱法的雅可比是稠密的：每个节点上的缺陷约束依赖于全部 $N+1$ 个状态变量。这是它全局多项式特性的代价。

节点选择与变体

按配点位置，主流伪谱法分三类，对应 Lagrange 多项式的不同正交族：

名称	节点	收敛性/特性
LPM（Lobatto pseudospectral method）	LGL：Legendre 多项式 $P_N(\tau)$ 的根 + 两端 $\pm 1$	端点处协态有边界效应，需做边界加权修正
GPM（Gauss pseudospectral method）	LG： $P_{N+1}(\tau)$ 的根（不含端点）	协态映射最干净，端点状态作为额外变量，见 Benson 2005 与 Huntington 2007
RPM（Radau pseudospectral method）	LGR： $P_N(\tau)+P_{N+1}(\tau)$ 的根（含一端）	一端连续一端离散，积分格式更稳。flipped Radau（FRPM）在 SCP 中常用于提升稀疏性[326]

三者的协态映射定理形式不同：GPM 与 RPM 的 KKT 乘子可直接对应连续协态，LPM 需额外做端点加权，见 Benson 等 2006 与 Garg 等 2010。这是近年 GPOPS-II 等工具转向 RPM/FRPM 的主要原因[325]。

Chebyshev 节点（Chebyshev-Gauss-Lobatto）的另一族：Chebyshev 伪谱法（CPM），在节点与微分矩阵上有闭式表达，计算效率更高。通过共形映射 + 重心插值可显著缓解标准 CPM 微分矩阵的病态[224]，见 Kosloff 与 Tal-Ezer 1993[444]。

谱收敛性与 hp 自适应

谱收敛性指：对解析解，误差随节点数 $N$ 以 $O(\rho^{-N})$ （ $\rho>1$ ）下降，比任何多项式阶都快。但对非光滑解（如低推力燃料最优的 bang-bang 控制），全局多项式会出现 Gibbs 振荡，谱收敛性失效。

工程对策是 hp 自适应：

h 型：在控制不连续处把整段切成多相，每相独立用伪谱离散，相间用状态/控制连续性约束连接，见 Darby 等 2011[267]。
p 型：在每段内根据误差估计加密节点数。

GPOPS-II、SPARTAN 等工具内置 hp 自适应。对强 bang-bang 问题，近年发展的 flipped Radau + switching-time 提取能精确定位开关时刻，把控制离散为分段常数后再优化[388]。

协态映射定理

伪谱法的核心理论结果是 covector mapping theorem，见 Benson 2005 与 Benson、Huntington 和 Rao 2006：经过适当的线性变换，GPM/RPM 离散 NLP 的 KKT 乘子 $\tilde{\boldsymbol{\lambda}}_k$ 在节点上严格对应连续 OCP 的协态 $\boldsymbol{\lambda}(\tau_k)$ [195][194][401]。

工程意义：

用伪谱法可直接得到协态时间历程，无需解析推导庞特里亚金极大值原理。
计算 Hamiltonian $H(\mathbf{x},\mathbf{u},\boldsymbol{\lambda},t)$ 是否沿轨迹恒定，作为解的精度校核。
把伪谱协态作为间接法或同伦法的初值，实现伪谱-间接混合求解。

工具与软件

工具	算法	来源
GPOPS-II	hp 自适应 LGR 配点 + Ipopt/SNOPT	Patterson & Rao 2014，MATLAB
DIDO	Legendre 伪谱	Ross 等，MATLAB
GPOPS（原版）	Gauss 伪谱	Rao et al. 2010
SPARTAN	flipped Radau	Sagliano 2017
CasADi + 自写配点	任意	CasADi 符号框架

应用要点

平动点轨道转移：低推力 Halo 与 NRHO 之间的转移、Halo 族内转移，伪谱法因配点少、协态精度高而是首选之一，见 Liu 2025 与 Kayama 2022。
多阶段问题：发射/级间分离/入轨/再入等多阶段任务，GPOPS-II 的相间事件约束可自然处理（Jorris 等）[531]。
作为 SCP 离散化后端：在序列凸规划中，FRPM 因稀疏性优于 GPM 而被广泛采用[569]。
不适用场合：强 bang-bang 燃料最优问题若不做 hp 加密，会有 Gibbs 振荡。高速率状态变化（如 6DOF 旋转-平移耦合）改用直接配点更稳。