伪谱法（Pseudospectral Method）

本文作者：天疆说
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定义

伪谱法（pseudospectral method，又称谱配点法 spectral collocation）是直接法中的一类：把整个时间区间映射到 $[-1,1]$ ，用单一高阶全局 Lagrange 多项式插值状态 $\mathbf{x}(\tau)$ 与控制 $\mathbf{u}(\tau)$ ，在正交节点处强制满足动力学。配点取 Legendre 多项式的根（或根 + 端点），节点数 $N$ 通常取 20~100 每相，可以远少于直接配点法的总节点数。对所有光滑函数都有谱（指数）收敛性（Canuto 等 1988；Fornberg 1998）。

数学形式

把连续时间 $t\in[t_0,t_f]$ 映射到 $\tau\in[-1,1]$ ：

t = \frac{t_f-t_0}{2}\tau + \frac{t_f+t_0}{2}.

取 $N+1$ 个正交节点 $\{-1=\tau_0<\tau_1<\dots<\tau_N=1\}$ （具体分布见下节），状态在节点上的值 $\{\mathbf{x}_k\}_{k=0}^N$ 为 NLP 变量。状态近似为

\mathbf{x}(\tau)\approx\sum_{k=0}^{N} L_k(\tau)\,\mathbf{x}_k,\quad L_k(\tau)=\prod_{\substack{j=0\\j\neq k}}^{N}\frac{\tau-\tau_j}{\tau_k-\tau_j}

为 Lagrange 基函数。其导数在节点处的值由微分矩阵 $\mathbf{D}$ 一次计算给出：

\dot{\mathbf{x}}(\tau_i)\approx\sum_{k=0}^{N} D_{ik}\,\mathbf{x}_k,\quad D_{ik}=\dot{L}_k(\tau_i).

伪谱缺陷约束（仍称 defect）为

\boldsymbol{\zeta}_i = \sum_{k=0}^{N} D_{ik}\,\mathbf{x}_k - \frac{t_f-t_0}{2}\,\mathbf{f}(\mathbf{x}_i,\mathbf{u}_i,\tau_i) = \mathbf{0},\quad i=0,\dots,N.

注意：与直接配点法不同，伪谱法的雅可比是稠密的：每个节点上的缺陷约束依赖于全部 $N+1$ 个状态变量。这是它「全局多项式」特性的代价。

节点选择与变体

按配点位置，主流伪谱法分三类，对应 Lagrange 多项式的不同正交族：

名称	节点	收敛性/特性
LPM（Lobatto pseudospectral method）	LGL：Legendre 多项式 $P_N(\tau)$ 的根 + 两端 $\pm 1$	端点处协态有边界效应，需做边界加权修正
GPM（Gauss pseudospectral method）	LG： $P_{N+1}(\tau)$ 的根（不含端点）	协态映射最干净，端点状态作为额外变量（Benson 2005；Huntington 2007）
RPM（Radau pseudospectral method）	LGR： $P_N(\tau)+P_{N+1}(\tau)$ 的根（含一端）	一端连续一端离散，积分格式更稳；flipped Radau（FRPM）在 SCP 中常用于提升稀疏性（Garg et al. 2011）

三者的协态映射定理形式不同：GPM 与 RPM 的 KKT 乘子可直接对应连续协态，LPM 需额外做端点加权（Benson et al. 2006；Garg et al. 2010）。这是近年 GPOPS-II 等工具转向 RPM/FRPM 的主要原因。

Chebyshev 节点（Chebyshev-Gauss-Lobatto）的另一族：Chebyshev 伪谱法（CPM），在节点与微分矩阵上有闭式表达，计算效率更高；通过共形映射 + 重心插值可显著缓解标准 CPM 微分矩阵的病态（Kosloff & Tal-Ezer 1993；Cai 等 2016）。

谱收敛性与 hp 自适应

谱收敛性指：对解析解，误差随节点数 $N$ 以 $O(\rho^{-N})$ （ $\rho>1$ ）下降，比任何多项式阶都快。但对非光滑解（如低推力燃料最优的 bang-bang 控制），全局多项式会出现 Gibbs 振荡，谱收敛性失效。

工程对策是 hp 自适应：

h 型：在控制不连续处把整段切成多相，每相独立用伪谱离散，相间用状态/控制连续性约束连接（Darby et al. 2011）。
p 型：在每段内根据误差估计加密节点数。

GPOPS-II、SPARTAN 等工具内置 hp 自适应。对强 bang-bang 问题，近年发展的 flipped Radau + switching-time 提取（Hofmann & Topputo 2021）能精确定位开关时刻，把控制离散为分段常数后再优化。

协态映射定理

伪谱法的核心理论结果是 covector mapping theorem（Benson 2005；Benson, Huntington, Rao 2006）：经过适当的线性变换，GPM/RPM 离散 NLP 的 KKT 乘子 $\tilde{\boldsymbol{\lambda}}_k$ 在节点上严格对应连续 OCP 的协态 $\boldsymbol{\lambda}(\tau_k)$ 。

工程意义：

用伪谱法可直接得到协态时间历程，无需解析推导庞特里亚金极大值原理；
计算 Hamiltonian $H(\mathbf{x},\mathbf{u},\boldsymbol{\lambda},t)$ 是否沿轨迹恒定，作为解的精度校核；
把伪谱协态作为间接法或同伦法的初值，实现「伪谱-间接混合」求解（Cai 等 2016）。

工具与软件

工具	算法	来源
GPOPS-II	hp 自适应 LGR 配点 + Ipopt/SNOPT	Patterson & Rao 2014，MATLAB
DIDO	Legendre 伪谱	Ross 等，MATLAB
GPOPS（原版）	Gauss 伪谱	Rao et al. 2010
SPARTAN	flipped Radau	Sagliano 2017
CasADi + 自写配点	任意	CasADi 符号框架

应用要点

平动点轨道转移：低推力 Halo↔NRHO 转移、Halo 族内转移，伪谱法因配点少、协态精度高而是首选之一（Liu 2025；Kayama 2022）。
多阶段问题：发射/级间分离/入轨/再入等多阶段任务，GPOPS-II 的相间事件约束可自然处理（Jorris 等）。
作为 SCP 离散化后端：在序列凸规划中，FRPM 因稀疏性优于 GPM 而被广泛采用（Hofmann & Topputo 2021）。
不适用场合：强 bang-bang 燃料最优问题若不做 hp 加密，会有 Gibbs 振荡；高速率状态变化（如 6DOF 旋转-平移耦合）改用直接配点更稳。

参考文献

Benson, D. A. (2005). A Gauss pseudospectral transcription for optimal control. PhD thesis, MIT.
Benson, D. A., Huntington, G. T., Thorvaldsen, T. P., & Rao, A. V. (2006). Direct trajectory optimization and costate estimation via an orthogonal collocation method. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 29(6), 1435–1440.
Garg, D., Patterson, M. A., Hager, W. W., Rao, A. V., Benson, D. A., & Huntington, G. T. (2010). A unified framework for the numerical solution of optimal control problems using pseudospectral methods. Automatica, 46(11), 1843–1851.
Garg, D., Patterson, M. A., Darby, C. L., Francolin, C., Huntington, G. T., Hager, W. W., & Rao, A. V. (2011). Direct trajectory optimization and costate estimation via a Radau pseudospectral method. Computational Optimization and Applications, 49(2), 335–358.
Huntington, G. T. (2007). Advancement and analysis of a Gauss pseudospectral transcription for optimal control. PhD thesis, MIT.
Darby, C. L., Hager, W. W., & Rao, A. V. (2011). An hp-adaptive pseudospectral method for solving optimal control problems. Optimal Control Applications and Methods, 32(4), 476–502.
Patterson, M. A., & Rao, A. V. (2014). GPOPS-II. ACM Transactions on Mathematical Software, 41(1), 1:1–1:37.
Fornberg, B. (1998). A Practical Guide to Pseudospectral Methods. Cambridge University Press.
Canuto, C., Hussaini, M. Y., Quarteroni, A., & Zang, T. A. (1988). Spectral Methods in Fluid Dynamics. Springer.
Kosloff, D., & Tal-Ezer, H. (1993). A modified Chebyshev pseudospectral method with $O(N^{-1})$ time step restriction. Journal of Computational Physics, 104(2), 457–469.
Cai, Z., 等. (2016). Bang-bang optimal control for differentially flat systems using mapped pseudospectral method and analytic homotopic approach. Optimal Control Applications and Methods.
Hofmann, C., & Topputo, F. (2021). Rapid low-thrust trajectory optimization in deep space based on convex programming. Journal of Guidance, Control, and Dynamics.
Sagliano, M. (2017). On the Radau pseudospectral method: theoretical and implementation advances. CEAS Space Journal, 9(3), 313–331.