希尔问题（Hill's Problem）

本文作者：天疆说

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定义

希尔问题（Hill's problem）是圆型限制性三体问题（CR3BP）在小质量比极限 μ→0\mu\to 0 下、并取原点在较小主天体（如地球）邻域得到的简化形式。George William Hill 在 1878 年研究月球运动时引入此模型（Hill 1878；Szebehely 1967, §10.4），核心做法是：

  1. 取太阳视差为零（太阳位于无穷远、引力为均匀潮汐场）；
  2. 取太阳轨道偏心率为零（圆形日地轨道）；
  3. 取月球轨道倾角为零（共面运动）。

在此简化下，第三体（月球/航天器）相对于较小主天体的运动方程在以较小主天体为原点、随太阳公转角速度同步旋转的坐标系中具有自治形式，并存在一条周期特解——Hill 变分轨道（variation orbit），它是 Hill 月球理论中的一阶中间轨道，也是历史上第一个非圆锥曲线的中间轨道。

运动方程

由 CR3BP 极限推导

CR3BP 在 会合坐标系 中的运动方程为（见 圆形限制性三体问题（CR3BP））

r⃗¨+2ω⃗×r⃗˙+ω⃗×(ω⃗×r⃗)=−μ1r13r⃗1−μ2r23r⃗2,\ddot{\vec r}+2\vec\omega\times\dot{\vec r}+\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r)=-\frac{\mu_1}{r_1^3}\vec r_1-\frac{\mu_2}{r_2^3}\vec r_2,

将原点平移到 P2P_2（较小主天体）处，令 ρ⃗=r⃗−r⃗2\vec\rho=\vec r-\vec r_2，并设 μ=m2/(m1+m2)≪1\mu=m_2/(m_1+m_2)\ll 1。在 ∣ρ⃗∣≪∣r⃗2∣|\vec\rho|\ll|\vec r_2| 的局部区域内对 P1P_1 的引力做 Taylor 展开，保留到 μ2/3\mu^{2/3} 量级，得到 Hill 方程的标准形式（Szebehely 1967, §10.4；Scheeres 1998）：

x¨−2ny˙=Ωx,y¨+2nx˙=Ωy,z¨=Ωz,\ddot{x}-2n\dot{y}=\Omega_x,\qquad \ddot{y}+2n\dot{x}=\Omega_y,\qquad \ddot{z}=\Omega_z,

Ω(x,y,z)=μ2r+32n2x2,r=x2+y2+z2,\Omega(x,y,z)=\frac{\mu_2}{r}+\frac{3}{2}n^2 x^2,\qquad r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},

其中 nn 是两主天体的公转角速度，μ2=Gm2\mu_2=Gm_2。注意势函数仅显含 xx 的潮汐项——这正是"太阳潮汐"在 μ→0\mu\to 0 极限下的体现。

由原始三体方程推导

Hill 本人从日-地-月三体方程出发（Szebehely 1967, §10.4.2），写出月球相对地球的运动方程：

ρ⃗¨M+G(mE+mM)∣ρ⃗M∣3ρ⃗M=−GmS ⁣[ρ⃗M−ρ⃗S∣ρ⃗M−ρ⃗S∣3+ρ⃗S∣ρ⃗S∣3],\ddot{\vec\rho}_M+\frac{G(m_E+m_M)}{|\vec\rho_M|^3}\vec\rho_M=-Gm_S\!\left[\frac{\vec\rho_M-\vec\rho_S}{|\vec\rho_M-\vec\rho_S|^3}+\frac{\vec\rho_S}{|\vec\rho_S|^3}\right],

右侧是太阳对月球与太阳对地球引力之差。在日地距 ∣ρ⃗S∣≫∣ρ⃗M∣|\vec\rho_S|\gg|\vec\rho_M| 假设下对 1/∣ρ⃗M−ρ⃗S∣1/|\vec\rho_M-\vec\rho_S| 作多极展开，保留主导的潮汐项（二阶），便得到与上述相同的 Hill 方程。这一推导揭示：Hill 问题本质上是一阶太阳潮汐近似下的地月运动。

雅可比积分与 Hill 曲面

Hill 方程存在雅可比积分

CH=2Ω−v2,C_H = 2\Omega - v^2,

形式上与 CR3BP 的雅可比常数 一致，但 Ω\Omega 中只剩 μ2/r+3n2x2/2\mu_2/r+3n^2x^2/2 两项。零速度曲线 v=0v=0 即 2Ω=CH2\Omega=C_H 在 xyxy 平面给出著名的"8 字形"——Hill 曲面（Hill's curves of zero velocity）：

  • CHC_H 较大时，曲线绕地球闭合，月球被约束在有限区域内（Hill 据此证明地月距离的有界性）；
  • CHC_H 降至临界值时，曲线在 xx 轴上的 L1L_1、L2L_2 位置打开两个"颈"，月球可经此逃逸或被截获；
  • 进一步降低 CHC_H，曲线完全打开。

这两个颈口的位置 x=±rHx=\pm r_H 给出 Hill 半径（Hill radius）：

rH=(μ23n2)1/3.r_H = \left(\frac{\mu_2}{3n^2}\right)^{1/3}.

它是较小主天体引力影响范围的几何标尺：地月系 rH≈6.16×104r_H\approx 6.16\times 10^4 km（约 0.16 个地月距），木卫系、火卫系等都有相应的 rHr_H。瞬时 Hill 边界 概念把这一静态边界推广到太阳等第三体引力随时间变化的情形，用于定义"等效平动点"随时间的脉动。

Hill 变分轨道与 Hill 方程

在 Hill 问题中，以月球公转周期为周期的对称特解称为变分轨道（variation orbit）。Hill 把它作为中间轨道，再研究对它的偏差演化。设 η\eta 为某方向上的小偏差，沿变分轨道线性化得到

η¨+θ(t)η=0,\ddot{\eta}+\theta(t)\eta=0,

其中 θ(t)\theta(t) 是与变分轨道同周期的周期函数。这正是经典 Hill 方程（Hill's equation）的原始形式。Hill 用他发明的"无穷行列式"分析了此方程的稳定域，确立了月球公转的稳定性。后来 Lyapunov、Poincaré 等人发展的特征指数理论皆以此为源。

注意"Hill 方程"在数学物理中是一大类形如 η¨+θ(t)η=0\ddot\eta+\theta(t)\eta=0 的二阶周期系数线性方程的统称（如 Mathieu 方程是其特例）；在地月空间语境中，它可指：(a) Hill 1878 年的原始变分方程；(b) 下文 Hill/Clohessy-Wiltshire 相对运动方程。读者需结合上下文判别。

与 Clohessy-Wiltshire 相对运动方程的关系

将 Hill 问题中较大主天体（如地球）视为目标、第三体（航天器）视为追踪器，在目标轨道为圆轨道的假设下线性化，得到著名的 Clohessy-Wiltshire 方程（CW 方程、Hill 相对运动方程，Clohessy & Wiltshire 1960；Vallado 2022, §6.8）：

x¨−2nx˙−3n2x=fx,y¨+2nx˙=fy,z¨+n2z=fz,\ddot{x}-2n\dot{x}-3n^2 x = f_x,\quad \ddot{y}+2n\dot{x}=f_y,\quad \ddot{z}+n^2 z=f_z,

其中 (x,y,z)(x,y,z) 是追踪器相对目标的 LVLH 坐标、nn 是目标轨道角速度、f⃗\vec f 是控制加速度。CW 方程本质上是 Hill 问题方程在圆轨道邻域的线性化形式，因此与 Hill 问题共享同样的"科氏+离心+潮汐"结构，只是把原点从较大主天体换成在轨目标。该方程是近地轨道 编队飞行 与交会对接相对运动分析的标准工具。

需要注意：当目标轨道偏心率较大、轨道高度较低或编队尺寸达到千米量级时，CW 方程的圆轨道假设带来的误差会迅速增大（Vallado 2022 §6.8.3）。

与 CR3BP 的连接与角色

Hill 问题作为 CR3BP 的 μ→0\mu\to 0 极限，对地月系（μ≈0.01215\mu\approx 0.01215）和日地系（μ≈3×10−6\mu\approx 3\times 10^{-6}）都是良好近似。它在理论与工程中扮演几重角色：

  • 月球理论的根基：Hill、Brown、De Sitter 等人的精密月球理论都以 Hill 变分轨道为中间轨道。
  • 卫星稳定性判据：Hill 半径是判断卫星是否稳定的基本尺度，远距逆行轨道（DRO）的稳定范围即由 Hill 曲面的拓扑决定。
  • 平动点邻域动力学：地月 L1L_1、L2L_2 邻域的局部行为在 Hill 极限下变得可解析处理，许多 Halo/Lyapunov 轨道族的解析近似（如 Richardson 三阶展开）就是基于 Hill 问题线性化。
  • 数值延续：Hill 问题中的周期轨道族可作为起点，经质量参数 μ\mu 的连续延拓（continuation）回到完整的 CR3BP，再过渡到高精度星历模型，是 共振、平动点轨道 数值延续工作流的常见起点。
  • 受限四体问题推广：Scheeres (1998) 把 Hill 问题推广为含两套潮汐项的"受限 Hill 四体问题"，可用于日地月三主天体环境下航天器运动的近似建模。

应用要点

  • 稳定区估算：rHr_H 给出卫星稳定绕行的几何上限，月球引力影响球半径也按同公式估算。
  • DRO 与平动点轨道设计：Hill 问题作为解析玩具模型，用于初步评估轨道族的拓扑、稳定性指数随参数变化的趋势。
  • 相对运动分析：CW 方程是近圆轨道相对运动的快速分析工具，配合 微分修正 过渡到完整力模型。

相关概念

参考文献

  • Hill, G. W. (1878). Researches in the lunar theory. American Journal of Mathematics, 1(1), 5–26.
  • Szebehely, V. (1967). Theory of Orbits: The Restricted Problem of Three Bodies, Chapter 10. Academic Press.
  • Clohessy, W. H., & Wiltshire, R. S. (1960). Terminal guidance system for satellite rendezvous. Journal of the Aerospace Sciences, 27(9), 653–658.
  • Scheeres, D. J. (1998). The restricted Hill four-body problem with applications to the Earth–Moon–Sun system. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 70(2), 75–98.
  • Vallado, D. A. (2022). Fundamentals of Astrodynamics and Applications, 5th ed., §6.8 (Hill's / Clohessy-Wiltshire equations).
  • Hénon, M. (1969). Numerical exploration of the restricted problem, V: Hill's case. Astronomy & Astrophysics, 1, 223–238.
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Contributors: ouyangjiahong, Ou Yang Jiahong