形状基方法与速度 Hodograph（Shape-Based Method and Velocity Hodograph）

本文作者：天疆说
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定义

形状基方法（shape-based method）是一类小推力轨迹的近似解析设计法：用含少量待定参数的解析函数（形状函数）描述转移轨道的几何形状，通常是极径 $r(\theta)$ 或速度矢量 $\boldsymbol{v}(t)$ ，再由逆动力学（inverse dynamics）从形状反算出推力加速度 $\boldsymbol{u}(t)$ 和飞行时间。它不求解完整的最优控制问题，只把无限维的轨迹优化降为有限维参数优化，因此算得快、便于全局搜索，但形状受所选函数族限制，得到的解一般非真正最优（Petropoulos & Longuski 2004；Conway 2010；Vellutini & Avanzini 2014）。

工程上的定位：形状基方法用于初值生成和全局剪枝：在大量候选方案中快速找到近似可行的转移，再交给直接配点、HDDP 或间接法做精确优化。

Petropoulos 指数正弦曲线

在中心引力 + 切向推力假设下，Petropoulos（Petropoulos & Longuski 2004）发现如下指数正弦

r(\theta) = k_0\,\exp\!\big[k_1\sin(k_2\theta+\phi)\big]

在 $\alpha=\gamma$ （推力沿速度方向）下解析地满足二维运动方程。代入后得到角速率与推力加速度的封闭表达式

\dot\theta^2 = \frac{\mu/r^3}{\tan^2\gamma + k_1 k_2^2 s + 1},\qquad a = \frac{\tan\gamma}{2\cos\gamma}\!\left[\frac{1}{\tan^2\gamma + k_1 k_2^2 s + 1} - \frac{k_2^2(1-2k_1 s)}{(\tan^2\gamma + k_1 k_2^2 s + 1)^2}\right]

其中 $\tan\gamma=k_1 k_2\cos(k_2\theta+\phi)$ 、 $s=\sin(k_2\theta+\phi)$ 。

可行性条件 $|k_1 k_2^2|<1$ 。 当 $|k_1 k_2^2|\ge 1$ 时 $\dot\theta^2$ 在某些 $\theta$ 处变负（角速率虚化）、或 $a$ 发散，形状不可飞。这是形状基方法最重要的约束。

Izzo（2006）的多圈 Lambert 类比。 给定 $r_1, r_2, \Delta\theta$ 与转移时间 $t_f$ ，把多圈 Lambert 问题推广到指数正弦： $k_2$ 固定时一族以 $\gamma_1$ （初始航迹角）为参数的曲线穿过两端点，可行性给出 $\tan\gamma_1$ 的二次不等式，从而解析界定 $\gamma_1$ 的可行区间。这是低推力全局优化的低推力 Lambert 求解器。

其他形状函数族

逆多项式（Wall & Conway）。 Wall 与 Conway（2010）提出五阶、六阶逆多项式 $r(\theta)=1/\sum_{i} a_i\theta^i$ ，参数更多、能拟合更一般的轨迹（含非切向推力分量），适合交会、拦截等固定时间问题，但代价是维度灾难：参数空间的网格搜索成本随阶数增长。

速度 Hodograph 法。 把速度矢量 $\boldsymbol{v}(t)$ （而非位置）表示为时间或真近点角的形状函数，由 $\dot{\boldsymbol{r}}=\boldsymbol{v}$ 反求位置、由运动方程反求推力。优点是速度边界条件直接、便于处理速度匹配的交会问题，被用于地球–火星、地球–水星、小行星/彗星任务。

Forbes 螺线、Lawden 螺线、对数螺线。 经典解析螺线族，参数更少但表达力有限，多用于教学与初筛。

CR3BP 修正指数正弦（Vellutini & Avanzini 2014）

经典指数正弦只在单中心引力下成立，地月 $L_1$ 转移中月球引力不可忽略。Vellutini & Avanzini 在原指数正弦上加一项沿主天体连线方向变形

r(\theta) = k_0\,\exp\!\big[k_1\sin(k_2\theta+\phi) + k_3\theta\cos(k_4\theta+\phi)\big]，

其中 $k_3\theta\cos(k_4\theta+\phi)$ 的振幅随角向距离线性增长，使螺线在远离地球时朝月球方向变形。在 CR3BP 方程下重新推导推力剖面（仍取切向推力假设），与经典形式相比在相同边界条件下转移时间更短、 $\Delta V$ 更小。该方法可推广到日地 $L_1$ 、 $L_2$ 转移（把质量比 $\mu$ 换成 $1-\mu$ ）。

平动点周期轨道的振幅-相位形状函数

针对平动点周期轨道（Halo、Lissajous）之间的低推力转移，中文文献构造了振幅与相位按多项式变化的新形状函数，把共线平动点附近的动力学特性（如中心流形、零速度面结构）嵌入形状参数化，相比通用形状函数能用更少参数表达有动力学意义的转移。这类形状法产出的初始猜测再交给 Gauss 伪谱法或 HDDP 精修。

应用要点

切向推力假设是核心简化。 形状基方法通常假设 $\alpha=\gamma$ （推力沿速度方向），把推力方向约束掉以换取解析解。当真实最优解含显著径向分量时（如平面转换、降轨），形状法的解可能远离最优。
可行性检查必须先做。 $|k_1 k_2^2|<1$ 是必要条件，违反时形状不可飞；类似的可行性条件也存在于其他形状族。
作为初值生成器最有效。 形状法在全局搜索后为直接/间接法提供可行初值，是它们最有用的角色；不要把形状法解当最终工程方案。
多圈问题选 $k_2$ 网格。 $k_2$ 控制绕中心天体的圈数，全局优化时常固定 $k_2$ 扫描其余参数，再换 $k_2$ 重做。
CR3BP 中要重新推导。 直接把二体形状搬到 CR3BP 会失真，须像 Vellutini 那样加入双中心变形项并重推推力剖面。

参考文献

Petropoulos, A. E., Longuski, J. M., 2004, "Shape-based algorithm for the automated design of low-thrust, gravity-assist trajectories," J. Spacecr. Rockets（指数正弦曲线的奠基论文）。
Izzo, D., 2006, "Lambert's problem for exponential sinusoids," J. Guid. Control Dyn., DOI: 10.2514/1.21796（多圈低推力 Lambert 问题， $\tan\gamma_1$ 可行区间）。
Wall, B. J., Conway, B. A., 2010, "Shape-based approach to low-thrust rendezvous trajectory design," J. Guid. Control Dyn.（逆多项式形状函数）。
Vellutini, E., Avanzini, G., 2014, "Shape-Based Design of Low-Thrust Trajectories to Cislunar Lagrangian Point," J. Guid. Control Dyn., DOI: 10.2514/1.G000165（CR3BP 修正指数正弦，地月 $L_1$ 转移）。
Conway, B. A. (ed.), 2010, Spacecraft Trajectory Optimization（教材，形状基方法一章）。
平动点周期轨道间小推力转移的 Gauss 伪谱法相关研究（振幅-相位形状函数）。