运动方程与状态方程（Equation of Motion / State Equation）

本文作者：天疆说

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定义

运动方程（equation of motion, EOM）是描述航天器位置在指定力学模型下随时间演化的微分方程组。在圆型限制性三体问题中，运动方程写在会合（旋转）坐标系下，是三个二阶常微分方程，右端项由两个主天体的引力与旋转系带来的科氏、离心项共同构成。把任何二阶方程组改写为一阶系统，就得到状态方程——这是现代控制理论处理动力学问题的标准形式。

CR3BP 运动方程

会合系原点取在两主天体质心，x 轴沿两主天体连线（两主天体在此系下变为固定点），地月系角速度为 $\boldsymbol{\omega}_S$。在此系下，量纲形式的运动方程为（Szebehely 1967, §1.5；Vallado 2022, §12.3）：

第二项是科氏加速度，第三项是离心加速度。无量纲化（参见 无量纲化）并引入有效势

运动方程写作紧凑的标准形式

由于时间 $t$ 不显式出现，该系统是自治的，并存在雅可比积分 $C = 2\Omega - (\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2)$ 作为守恒量——这是零速度曲面、平动点和一切 CR3BP 任务设计的根基（Szebehely 1967, §1.6）。

状态方程

取状态向量 $\mathbf x = (x, y, z, \dot x, \dot y, \dot z)^\top$，二阶运动方程化作一阶系统

加入控制后线性化为

这就是状态方程（状态空间形式）。把动力学写成这一形式是应用最优控制、状态反馈、状态观测等方法的前提。在 CR3BP 中，当参考是周期轨道时，$\mathbf A(t)$ 随参考轨道周期变化——这就是平动点轨道相对运动 Floquet 分析所依赖的线性周期系统结构。

自治 vs. 非自治；时变 vs. 时不变

状态方程不显含 $t$ 时，系统是自治（时不变）的；显含 $t$ 时则是非自治（时变）的。CR3BP 因两主天体在会合系下固定，状态方程是自治的。双圆模型、椭圆限制性三体问题、完整历表（n 体）模型则因第三体的真实运动或行星的真实位置而引入显式时间依赖，是非自治的，丢失雅可比积分，必须改用准周期或纯数值方法（Baresi 2023）。

自治系统具有时间平移不变性：$t_0$ 时刻发射的轨迹与 $t_0 + \Delta t$ 时刻发射的轨迹形状一致。非自治系统失去这种对称——发射历元本身成为变量，数值积分必须把绝对时间与状态一并推进。这一增加的复杂性并非形式上的：庞加莱截面、不变流形、雅可比约束下的穿越轨道理论等工具都依赖于自治性，在历表模型中不再直接可用。

相关概念

• 圆形限制性三体问题（CR3BP）

• 会合坐标系（Synodic Frame）

• 雅可比常数（Jacobi Constant）

• 无量纲化（Nondimensionalization）

参考文献

• Szebehely, 1967, Theory of Orbits, §§1.5–1.6——量纲与无量纲 CR3BP 运动方程、雅可比积分推导。

• Vallado, 2022, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, §12.3——限制性三体问题与会合系方程。

• Baresai, 2023, Transition of two-dimensional quasi-periodic invariant tori in the real-ephemeris model of the Earth–Moon system——完整历表模型中的非自治动力学。

• Fossà 等, 2022, Two and three impulses phasing strategy with a spacecraft orbiting on an Earth–Moon NRHO.

• 徐明、徐世杰, 2008, Halo 轨道维持的线性周期控制策略——状态方程与平动点轨道维持中的周期 $\mathbf A(t)$。