多弧段最优控制（Multi-arc Optimal Control）

本文作者：天疆说
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定义

多弧段最优控制（multi-arc optimal control）是把连续时间的最优控制问题扩展到由 $N$ 段弧组成的轨迹：每段弧 $j$ 可以采用不同的状态坐标表示，相邻弧在 $N-1$ 个界面（interface）处通过匹配（角点）条件联立。其单弧对应版（single-arc optimal control）则把转移视为单一连续的 IVP-to-TPBVP 问题，全程使用一套状态坐标（Pozzi et al. 2025；Betts 1998）。

切分为多弧的动机在于：当单一状态坐标无法高效描述整条路径时——例如从 Gateway 所在 NRHO 转移到近地轨道（LEO），轨迹要穿越地月引力过渡区，月心修正赤道根数（MEE）在 $e=1$ 附近奇异、地心 MEE 在平动点附近病态——多弧结构允许在界面切换坐标，代价是引入额外的联立条件。

数学结构

对每段弧 $j\in\{1,\dots,N\}$ ，状态方程

\dot{\boldsymbol{x}}^{(j)} = \boldsymbol{f}^{(j)}\!\left(\boldsymbol{x}^{(j)}, \boldsymbol{u}^{(j)}, \boldsymbol{p}, \tau\right),

共享辅助自变量 $\tau\in[0, t_f-t_0]$ （可正向或反向积分），但每段的 $\boldsymbol{x}^{(j)}$ 可以是不同的坐标集合。在弧 $j$ 与弧 $j+1$ 的界面时刻 $\tau_j$ 处，需施加三类条件（Pozzi et al. 2025）：

标量过渡函数 $\zeta_j(\boldsymbol{x}^{(j+1)}_{\text{ini}}, \boldsymbol{x}^{(j)}_{\text{fin}}, \tau_j)=0$ ，标志过渡发生（例如地心距穿越某阈值）；
向量匹配函数 $\boldsymbol{\chi}_j$ ，把 outgoing 弧的终端状态映射到 incoming 弧的初始状态——通常是隐式的非线性关系，并非简单相等；
时间一致性等式约束，把各段时长与总体时间参数 $\boldsymbol{p}=[t_0, t_f]^T$ 联立。

这些条件与各段动力学一起，构成增广的 TPBVP。方程组维度为 $\sum_j n_j$ 个状态量加界面乘子。

角点条件与协态匹配

对光滑的内角点 $\tau_j$ ，变分学的一阶必要条件归结为 Weierstrass-Erdmann 角点条件：

\boldsymbol{\lambda}^{(j)}(\tau_j^{-}) = \boldsymbol{\lambda}^{(j+1)}(\tau_j^{+}), \qquad H^{(j)}(\tau_j^{-}) = H^{(j+1)}(\tau_j^{+}),

即（统一到同一坐标表示下的）协态与 Hamiltonian 在界面处保持连续。当匹配函数 $\boldsymbol{\chi}_j$ 是隐式的时候，协态连续性推广为 $\boldsymbol{\lambda}^{(j)} = (\partial \boldsymbol{\chi}_j/\partial \boldsymbol{x}^{(j)}_{\text{fin}})^{-T} (\partial \boldsymbol{\chi}_j/\partial \boldsymbol{x}^{(j+1)}_{\text{ini}})^{T} \boldsymbol{\lambda}^{(j+1)}$ 加界面乘子项。

隐式协态变换

当相邻弧之间的匹配函数构成可逆映射时，Pozzi 等（2025）证明角点条件可以顺序求解——一段弧的协态可由下一段弧的协态经解析表达式（隐式协态变换，implicit costate transformation）恢复。多弧 TPBVP 的未知量个数与单弧问题相同：初始协态 $\boldsymbol{\lambda}^{(1)}(t_0)$ 、终端时间 $t_f$ 与若干参数。这避免了朴素 $N$ 弧打靶实现中未知量按弧数线性膨胀的困境，是间接启发式算法（粒子群 + 协态积分）能在 Gateway ↔ 地月低推力转移中保持可解的根本原因。

与拼接点、缺陷约束的关系

多弧段最优控制是理论层面；多重打靶 + 拼接点是算法层面：

拼接点 是离散化后用 Newton 类迭代施加弧间连续性的节点，属于数值方法。
角点条件 是把轨迹视为多弧变分问题的极值时，节点处必须满足的最优性必要条件，属于最优控制理论。
直接配点法 中内节点连续性以缺陷约束形式出现在 NLP 里，不显含协态。

简言之：同一条物理轨迹都可通过切分获得，但多弧段最优控制携带了多重打靶所忽略的解析结构（协态匹配、Hamiltonian 连续性）。

单弧 vs 多弧的对比

维度	单弧段最优控制	多弧段最优控制
状态坐标	全程一套	每段一套，界面切换
界面条件	无	$\zeta_j, \boldsymbol{\chi}_j, \tau_j$ 匹配
协态处理	标准 TPBVP	角点条件；可顺序求解
奇异性处理	$e=1$ 、 $h=k=0$ 附近病态	每段用各自非奇异坐标
典型用途	二体转移、单共振弧	多体低推力、地月穿越

应用：地月空间低推力转移

Pozzi 等（2025）在含日/地/月引力的全星历模型下，把 Gateway（NRHO）到 LEO 和到低月轨道（LLO）的双向最小时间低推力转移分别建模：Gateway-to-LLO 段处于受摄二体框架内，作为单弧 OC 问题求解；Gateway-to-LEO 段受两个主天体共同支配，构造为 5 弧的多弧问题——其中 3 段长度为零（纯坐标变换），另外 2 段分别使用地心、月心 MEE，在地月边界处相接。配合间接启发式算法（粒子群 + 协态积分），该框架能得到符合高保真星历动力学、连接地球与月球到 Gateway 的完整双向转移解。

应用要点

弧数由单一坐标在哪里失效决定，并非越多越准；为了切分而切分只会徒增界面约束。
隐式协态变换的可顺序求解性是可逆匹配映射的特殊待遇；遇到不可逆界面（如碰撞、撞击）必须保留完整增广 TPBVP。
直接法实现中，多弧结构对应多段伪谱配点，段间用相位联立约束替代角点条件。

参考文献

Pozzi, E., Morselli, A., Masdemont, J., & Gomez, G. (2025). Optimal low-thrust orbit transfers connecting Gateway with Earth and Moon. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy.
Pozzi, E., Morselli, A., Masdemont, J., & Gomez, G. (2024). Optimization, guidance, and control of low-thrust transfers from the lunar Gateway to low lunar orbit.
Beolchi, A. C., Morselli, A., & Topputo, F. (2023). A multi-arc formulation for low-thrust orbit transfers in a high-fidelity multibody ephemeris model.
Betts, J. T. (1998). Survey of numerical methods for trajectory optimization. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 21(2), 193-207.
Bryson, A. E., & Ho, Y.-C. (1975). Applied Optimal Control.（Weierstrass-Erdmann 角点条件的标准出处）
Conway, B. A. (Ed.). (2010). Spacecraft Trajectory Optimization. Cambridge University Press.
Howell, K. C., & Pernicka, H. J. (1987). Numerical determination of Lissajous trajectories in the restricted three-body problem. Celestial Mechanics, 41(1-4), 107-124.（多重打靶与拼接点的原始定义）