线性二次型最优控制与 Riccati 方程（LQR and Riccati Equation）

本文作者：天疆说
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定义

线性二次型调节器（Linear Quadratic Regulator, LQR）是如下问题的闭式最优解：对于线性时变系统 $\dot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{A}(t)\boldsymbol{x} + \boldsymbol{B}(t)\boldsymbol{u}$ ，寻找状态反馈控制律 $\boldsymbol{u}^* = -\boldsymbol{K}(t)\boldsymbol{x}$ ，使二次型性能指标

J = \tfrac{1}{2}\boldsymbol{x}^T(t_f)\boldsymbol{S}_f\boldsymbol{x}(t_f) + \tfrac{1}{2}\int_{0}^{t_f}\!\left[\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{Q}(t)\boldsymbol{x} + \boldsymbol{u}^T\boldsymbol{R}(t)\boldsymbol{u}\right]dt

最小。这里 $\boldsymbol{Q}\succeq 0$ 为状态偏差权重、 $\boldsymbol{R}\succ 0$ 为控制代价权重、 $\boldsymbol{S}_f\succeq 0$ 为终端权重。LQR 的核心结论是：最优反馈增益由矩阵 Riccati 方程的解唯一决定（Kalman 1960；Anderson & Moore 1990），从而把一个泛函最小化问题化归为求解矩阵微分方程。

Riccati 方程的两种形式

微分 Riccati 方程（finite-horizon LQR）。 令 $\boldsymbol{P}(t)$ 为对称矩阵，满足终端条件 $\boldsymbol{P}(t_f) = \boldsymbol{S}_f$ ，沿时间倒向积分

-\dot{\boldsymbol{P}} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{A} + \boldsymbol{A}^T\boldsymbol{P} - \boldsymbol{P}\boldsymbol{B}\boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{P} + \boldsymbol{Q}。

则最优控制为 $\boldsymbol{u}^*(t) = -\boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{P}(t)\boldsymbol{x}(t)$ 。增益 $\boldsymbol{K}(t) = \boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{P}(t)$ 一般显含时间，工程实现时常在标称轨迹上离线求解、在线查表（如平动点周期轨道的 Floquet 形态分解后再做 LQR）。

代数 Riccati 方程（infinite-horizon LQR）。 当 $(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B})$ 可镇定、 $(\boldsymbol{Q}^{1/2},\boldsymbol{A})$ 可检测时，令 $t_f\to\infty$ 、 $\boldsymbol{Q},\boldsymbol{R}$ 为常矩阵， $\boldsymbol{P}(t)$ 收敛到稳态解 $\boldsymbol{P}_\infty\succ 0$ ，满足

\boldsymbol{P}\boldsymbol{A} + \boldsymbol{A}^T\boldsymbol{P} - \boldsymbol{P}\boldsymbol{B}\boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{P} + \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{0}，

增益 $\boldsymbol{K} = \boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{P}_\infty$ 为常矩阵，闭环 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}\boldsymbol{K}$ 渐近稳定。这是姿态控制、轨道保持中最常用的形式。

权矩阵选取：跟踪精度 vs 控制代价

权矩阵 $\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{R}$ 是 LQR 设计中唯一的主观选择，直接决定闭环性能。 $\boldsymbol{Q}$ 大则跟踪紧、能耗高； $\boldsymbol{R}$ 大则省燃料、误差大。无量纲化后的 CR3BP 平动点轨道保持中，位置偏差、速度偏差、控制加速度同量级，Zhang & Wang（2022）在 DRO/Halo/NRHO 的 comparative 研究中取 $\boldsymbol{Q}=10\boldsymbol{I}_{6\times 6}$ 、 $\boldsymbol{R}=\boldsymbol{I}_{3\times 3}$ 即可获得良好跟踪（年修正量 0.8–26 m/s，按轨道稳定性指数差异而定）。NRHO 因近月点速度梯度大，控制输入在 perilune 附近出现尖峰，比 DRO 高出约两个量级。

权矩阵的常用调参法包括：Bryson 法（先取对角元归一化再统一加权）、迭代仿真法（先固定 $\boldsymbol{R}$ 调 $\boldsymbol{Q}$ 的对角比例）、以及基于闭环极点位置的期望配置法。

在非线性系统中的延伸

LQR 本身只对线性系统最优，但在地月空间任务中绝大多数场景是非线性的，因此衍生出多种"近似 LQR"用法：

参考轨迹线性化 LQR。 沿标称轨道 $\bar{\boldsymbol{x}}(t)$ （如 Halo、NRHO）展开动力学 $\delta\dot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{A}(t)\delta\boldsymbol{x} + \boldsymbol{B}\delta\boldsymbol{u}$ ，对偏差系统设计 LQR 反馈。这是平动点轨道保持最常见的形式， $\boldsymbol{A}(t)$ 可由状态转移矩阵（STM）给出。

次优控制与 SDRE。 把非线性系统改写为"状态依赖线性"形式 $\dot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})\boldsymbol{x} + \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x})\boldsymbol{u}$ ，在每个状态点处瞬时求解代数 Riccati 方程，得到状态依赖的 Riccati 增益。这类方法在中文文献中常与"调解因子"（mediation factor）一起讨论，用以逼近原非线性最优解；优点是无需积分伴随方程，缺点是缺乏全局最优性保证，且参数化不唯一。

非线性输出调节（Francis-Byrnes-Isidori 方程）。 当参考信号和扰动都可由一个外系统（exosystem）生成（如准 Halo 轨道与周期偏心率扰动），输出调节理论给出同时实现跟踪与扰动抑制的反馈律，关键在于求解一组称为 FBI 方程的结构方程（Isidori & Byrnes 1990；Di Giamberardino & Monaco 1996）。该方法在平动点轨道保持中可与 LQR/SDRE 嵌套使用（Elobaid et al. 2022）。

ZEM/ZEV：双积分系统的 LQR 解析解

零耗努力脱靶量（Zero-Effort-Miss, ZEM）与零耗努力速度（Zero-Effort-Velocity, ZEV）制导是 LQR 在二阶系统上的封闭形式。考虑双积分动力学 $\ddot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{u} + \boldsymbol{g}(\boldsymbol{r})$ ，剩余飞行时间 $t_{go}=t_f-t$ ，定义

\boldsymbol{r}_{ZEM}(t) = \boldsymbol{r}(t) + \boldsymbol{v}(t)t_{go} + \int_{t}^{t_f}\!(t_f-\tau)\boldsymbol{g}(\boldsymbol{r}(\tau))\,d\tau,\quad \boldsymbol{v}_{ZEV}(t) = \boldsymbol{v}(t) + \int_{t}^{t_f}\!\boldsymbol{g}(\boldsymbol{r}(\tau))\,d\tau。

对匀重力场 $\boldsymbol{g}$ ，最小化 $\int\!\|\boldsymbol{u}\|^2 dt$ 的 LQR 闭式解给出经典增益 $\boldsymbol{u}^* = \frac{6}{t_{go}^2}(\boldsymbol{r}_{ZEM}) - \frac{2}{t_{go}}(\boldsymbol{v}_{ZEV})$ ，即 $K_R=6$ 、 $K_V=-2$ 。广义 ZEM/ZEV 算法将这两个常数增益替换为时变增益 $K_R(t), K_V(t)$ ，以便在非匀重力场（如月球动力下降、CR3BP 转移）下仍保持近最优（Ebrahimi et al. 2008；Scorsoglio et al. 2023）。ZEM/ZEV 广泛用于登月动力下降与NRHO交会。

应用要点

数值实现。 Riccati 方程是对称的，可只用上三角传播；稳态解可用 scipy.linalg.solve_continuous_are 或专门的 Schur 法（Arnold 1984）求得。
鲁棒性边界。 LQR 至少有 60° 相位裕度、 $[1/2, \infty)$ 增益裕度（Safonov & Athans 1977），这一性质使其在模型不确定下仍可用。但当实际扰动达到 SRP 量级（无量纲 $\sim 10^{-4}$ ），标准 LQR 无法稳定收敛，需切换到鲁棒框架（如最优滑模控制）。
不宜滥用。 LQR 只在标称轨迹小邻域内有效，对大幅值偏差（如入轨误差 100 km）需要重新规划而非反馈。

参考文献

Kalman, R. E., 1960, Contributions to the Theory of Optimal Control（LQR 与 Riccati 方程的奠基论文）。
Anderson, B. D. O., Moore, J. B., 1990, Optimal Control: Linear Quadratic Methods（LQR 理论与权矩阵选取的系统教材）。
Safonov, M. G., Athans, M., 1977, "Gain and phase margin for multiloop LQG regulators"，IEEE Trans. Autom. Control 22(2)（LQR 鲁棒裕度的经典结论）。
Isidori, A., Byrnes, C. I., 1990, "Output regulation of nonlinear systems"，IEEE Trans. Autom. Control 35(2)（非线性输出调节与 FBI 方程）。
Ebrahimi, M., Bahrami, M., Rossi, F., 2008, "Optimal sliding-mode guidance with terminal velocity constraint for a lunar lander"；同作者 2008 关于 ZEM/ZEV 在非匀重力场的推广。
Zhang, R., Wang, Y., 2022, "Continuous-thrust station-keeping of cis-lunar orbits using optimal sliding mode control with practical constraints"，Adv. Space Res.（Q=10I、R=I 的权矩阵选取与 OSMC vs LQR 对比）。
Scorsoglio, A., Furfaro, R., et al., 2023, "Relative motion guidance for near-rectilinear lunar orbits with path constraints"，Adv. Space Res.（广义 ZEM/ZEV 在 NRHO 的应用）。
Elobaid, M., et al., 2022（非线性调节在平动点保持的应用）。