线性二次型最优控制与 Riccati 方程（LQR and Riccati Equation）

本文作者：天疆说
本站地址：https://cislunarspace.cn

定义

线性二次型调节器（Linear Quadratic Regulator, LQR）是如下问题的闭式最优解：对于线性时变系统 $\dot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{A}(t)\boldsymbol{x} + \boldsymbol{B}(t)\boldsymbol{u}$ ，寻找状态反馈控制律 $\boldsymbol{u}^* = -\boldsymbol{K}(t)\boldsymbol{x}$ ，使二次型性能指标

J = \tfrac{1}{2}\boldsymbol{x}^T(t_f)\boldsymbol{S}_f\boldsymbol{x}(t_f) + \tfrac{1}{2}\int_{0}^{t_f}\!\left[\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{Q}(t)\boldsymbol{x} + \boldsymbol{u}^T\boldsymbol{R}(t)\boldsymbol{u}\right]dt

最小。这里 $\boldsymbol{Q}\succeq 0$ 为状态偏差权重、 $\boldsymbol{R}\succ 0$ 为控制代价权重、 $\boldsymbol{S}_f\succeq 0$ 为终端权重。LQR 的核心结论是：最优反馈增益由矩阵 Riccati 方程的解唯一决定，参见 Kalman 1960 与 Anderson 与 Moore 1990，从而把一个泛函最小化问题化归为求解矩阵微分方程[1][173]。

Riccati 方程的两种形式

微分 Riccati 方程（finite-horizon LQR）。令 $\boldsymbol{P}(t)$ 为对称矩阵，满足终端条件 $\boldsymbol{P}(t_f) = \boldsymbol{S}_f$ ，沿时间倒向积分

-\dot{\boldsymbol{P}} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{A} + \boldsymbol{A}^T\boldsymbol{P} - \boldsymbol{P}\boldsymbol{B}\boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{P} + \boldsymbol{Q}。

则最优控制为 $\boldsymbol{u}^*(t) = -\boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{P}(t)\boldsymbol{x}(t)$ 。增益 $\boldsymbol{K}(t) = \boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{P}(t)$ 一般显含时间，工程实现时常在标称轨迹上离线求解、在线查表（如平动点周期轨道的 Floquet 形态分解后再做 LQR）。

代数 Riccati 方程（infinite-horizon LQR）。当 $(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B})$ 可镇定、 $(\boldsymbol{Q}^{1/2},\boldsymbol{A})$ 可检测时，令 $t_f\to\infty$ 、 $\boldsymbol{Q},\boldsymbol{R}$ 为常矩阵， $\boldsymbol{P}(t)$ 收敛到稳态解 $\boldsymbol{P}_\infty\succ 0$ ，满足

\boldsymbol{P}\boldsymbol{A} + \boldsymbol{A}^T\boldsymbol{P} - \boldsymbol{P}\boldsymbol{B}\boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{P} + \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{0}，

增益 $\boldsymbol{K} = \boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{P}_\infty$ 为常矩阵，闭环 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}\boldsymbol{K}$ 渐近稳定。这是姿态控制、轨道保持中最常用的形式。

权矩阵选取：跟踪精度 vs 控制代价

权矩阵 $\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{R}$ 是 LQR 设计中唯一的主观选择，直接决定闭环性能。 $\boldsymbol{Q}$ 大则跟踪紧、能耗高。 $\boldsymbol{R}$ 大则省燃料、误差大。无量纲化后的 CR3BP 平动点轨道保持中，位置偏差、速度偏差、控制加速度同量级，Zhang 与 Wang 2022 在 DRO/Halo/NRHO 的 comparative 研究中取 $\boldsymbol{Q}=10\boldsymbol{I}_{6\times 6}$ 、 $\boldsymbol{R}=\boldsymbol{I}_{3\times 3}$ 即可获得良好跟踪（年修正量 0.8–26 m/s，按轨道稳定性指数差异而定）[684]。NRHO 因近月点速度梯度大，控制输入在 perilune 附近出现尖峰，比 DRO 高出约两个量级。

权矩阵的常用调参法包括：Bryson 法（先取对角元归一化再统一加权）、迭代仿真法（先固定 $\boldsymbol{R}$ 调 $\boldsymbol{Q}$ 的对角比例）、以及基于闭环极点位置的期望配置法。

在非线性系统中的延伸

LQR 本身只对线性系统最优，但在地月空间任务中绝大多数场景是非线性的，因此衍生出多种近似 LQR 用法：

参考轨迹线性化 LQR。沿标称轨道 $\bar{\boldsymbol{x}}(t)$ （如 Halo、NRHO）展开动力学 $\delta\dot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{A}(t)\delta\boldsymbol{x} + \boldsymbol{B}\delta\boldsymbol{u}$ ，对偏差系统设计 LQR 反馈。这是平动点轨道保持最常见的形式， $\boldsymbol{A}(t)$ 可由状态转移矩阵（STM）给出。

次优控制与 SDRE。把非线性系统改写为状态依赖线性形式 $\dot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})\boldsymbol{x} + \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x})\boldsymbol{u}$ ，在每个状态点处瞬时求解代数 Riccati 方程，得到状态依赖的 Riccati 增益。这类方法在中文文献中常与调解因子（mediation factor）一起讨论，用以逼近原非线性最优解。优点是无需积分伴随方程，缺点是缺乏全局最优性保证，且参数化不唯一。

非线性输出调节（Francis-Byrnes-Isidori 方程）。当参考信号和扰动都可由一个外系统（exosystem）生成（如准 Halo 轨道与周期偏心率扰动），输出调节理论给出同时实现跟踪与扰动抑制的反馈律，关键在于求解一组称为 FBI 方程的结构方程，参见 Isidori 与 Byrnes 1990 以及 Di Giamberardino 与 Monaco 1996[404]。该方法在平动点轨道保持中可与 LQR/SDRE 嵌套使用，参见 Elobaid 等 2022。

ZEM/ZEV：双积分系统的 LQR 解析解

零耗努力脱靶量（Zero-Effort-Miss, ZEM）与零耗努力速度（Zero-Effort-Velocity, ZEV）制导是 LQR 在二阶系统上的封闭形式。考虑双积分动力学 $\ddot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{u} + \boldsymbol{g}(\boldsymbol{r})$ ，剩余飞行时间 $t_{go}=t_f-t$ ，定义

\boldsymbol{r}_{ZEM}(t) = \boldsymbol{r}(t) + \boldsymbol{v}(t)t_{go} + \int_{t}^{t_f}\!(t_f-\tau)\boldsymbol{g}(\boldsymbol{r}(\tau))\,d\tau,\quad \boldsymbol{v}_{ZEV}(t) = \boldsymbol{v}(t) + \int_{t}^{t_f}\!\boldsymbol{g}(\boldsymbol{r}(\tau))\,d\tau。

对匀重力场 $\boldsymbol{g}$ ，最小化 $\int\!\|\boldsymbol{u}\|^2 dt$ 的 LQR 闭式解给出经典增益 $\boldsymbol{u}^* = \frac{6}{t_{go}^2}(\boldsymbol{r}_{ZEM}) - \frac{2}{t_{go}}(\boldsymbol{v}_{ZEV})$ ，即 $K_R=6$ 、 $K_V=-2$ 。广义 ZEM/ZEV 算法将这两个常数增益替换为时变增益 $K_R(t), K_V(t)$ ，以便在非匀重力场（如月球动力下降、CR3BP 转移）下仍保持近最优[577]，另见 Ebrahimi 等 2008[290]。ZEM/ZEV 广泛用于登月动力下降与NRHO交会。

应用要点

数值实现。 Riccati 方程是对称的，可只用上三角传播。稳态解可用 scipy.linalg.solve_continuous_are 或专门的 Schur 法求得，参见 Arnold 1984。
鲁棒性边界。 LQR 至少有 60° 相位裕度、 $[1/2, \infty)$ 增益裕度，参见 Safonov 与 Athans 1977，这一性质使其在模型不确定下仍可用[568]。但当实际扰动达到 SRP 量级（无量纲 $\sim 10^{-4}$ ），标准 LQR 无法稳定收敛，需切换到鲁棒框架（如最优滑模控制）。
不宜滥用。 LQR 只在标称轨迹小邻域内有效，对大幅值偏差（如入轨误差 100 km）需要重新规划而非反馈。

参考文献

Elobaid, M., et al., 2022，题录待补