Lambert 制导例程（Lambert Guidance Routine）

本文作者：天疆说
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定义

Lambert 制导例程（Lambert Guidance Routine，LGR；亦简称 Lambert 制导）是一种把 Lambert 问题的求解嵌入主动段（boost phase）实时闭环制导的算法。每个制导周期执行以下三步（Burns & Scherock 2004）：

用当前状态 $(\vec r_M,\vec v_M)$ 与预定的目标点 $\vec r_2$ 、剩余飞行时间 $t_f$ 解一次 Lambert 问题，得到"应当具备的速度" $\vec v_{\text{LAMBERT}}$ ；
计算速度待飞量 $\vec v_G=\vec v_{\text{LAMBERT}}-\vec v_M$ ；
命令推力沿 $\vec v_G$ 方向，当 $|\vec v_G|$ 小于阈值时关机，转入弹道飞行至目标。

这是一个闭环的迭代过程：每一步都基于当前实际状态重新解 Lambert，因此对扰动、风载、推力偏差具有自然的鲁棒性，无需预先设计一条精确的开环标称轨迹。

$\vec r_1$ （当前导弹/航天器位置）与 $\vec r_2$ （目标点）唯一确定一个平面，称为 Lambert 计算平面。平面内用二维 Lambert 方程求出 $\vec v_{\text{LAMBERT}}^{(2D)}$ ，再通过两次绕 $Z$ 、绕 $Y'$ 的旋转和一次绕 $X''$ 的滚转，转换回 ECI 惯性系（Burns & Scherock 2004 附录）。这种"二维求解 + 三维映射"的写法避免了直接在三维里迭代。

转移角 $\theta_f$ 由两矢量点积给出：

\cos\theta_f=\frac{\vec r_1\cdot\vec r_2}{|\vec r_1|\,|\vec r_2|}

并定义无量纲能量参数 $\lambda=|\vec r_1|V^2/\mu$ （两倍动能与势能之比）： $\lambda<2$ 为椭圆轨道， $\lambda=2$ 为抛物线， $\lambda>2$ 为双曲线。常见实现里用割线法迭代收敛 Lambert 方程， $\lambda$ 的允许范围被限制为椭圆。

与开环 Lambert 转移、其它制导的区别

与开环 Lambert 转移（"Lambert 轨道变轨"）：开环用法是离线地解一次 Lambert 问题得到初始速度增量 $\Delta\vec v$ ，施加后弹道飞行，不做实时修正；LGR 是每个制导周期都重解，自动修正偏差。前者是轨道设计工具，后者是制导律。
与 Q 制导、显式制导（显式制导律）：Q 制导基于协态-增益矩阵；显式制导直接积分标称方程并要求满足终端约束。LGR 的特征是显式调用 Lambert 求解器作为"应当具备的速度"的计算模块。
与 Apollo 登月舱 P64 制导：P64 是多项式 / Lambda 制导，不是 Lambert 制导。中文文献里偶见"阿波罗制导计算机最繁重的任务之一是 Lambert 制导"的说法，是混淆——Apollo 的 Lambert 解算用于任务规划（地面），而非实时飞行制导。
与中途 Lambert 修正：Lambert 解也用于中途轨道修正的参考脉冲计算（见多脉冲机动），那是离线脉冲设计，与 LGR 不同。

关键工程参数

预定到达时间 $T_A$ / 飞行时间 $t_f$ ：决定轨道形状（高弹道 vs 低弹道）与末速匹配 $\Delta v$ 。 $t_f$ 越长，弹道越高、末端速度越小，需要补的速度差越大；常用 Powell 法对 $t_f$ （等价地、对发射延迟 $T_D$ ）寻优使末端 $\Delta v$ 最小（Burns & Scherock 2004）。
关机阈值： $|\vec v_G|$ 低于阈值即停止主推力。过低则制导周期紧、对算法实时性要求高；过高则残差大。
大气层内的俯仰程序：低空段使用固定的飞出俯仰角程序（fly-out flight-path angle schedule）抑制气动损耗，出大气后再切到纯 Lambert 指令。
目标位置偏置（White offset）：补偿"Lambert 假设瞬时燃烧、均匀重力场"等近似带来的系统偏差，将制导目标人为偏置一个小量，使真实弹道落在期望点。

扩展：位置 + 速度双匹配

经典 LGR 只保证末端位置匹配。Burns-Scherock (2004) 在拦截弹场景中增加一个第四级短脉冲，使末端速度也与目标一致——位置 + 速度同时匹配后，拦截器沿目标弹道随飞。做法：

第一轮用 LGR 制导到目标位置 $\vec R_T$ ，在最接近点估算 $\Delta\vec V$ ；
把制导目标偏置到 $\vec R_{\text{offset}}=\vec R_T-\Delta\vec R$ （ $\Delta\vec R$ 为第四级脉冲引起的位置偏差）；
第四级在距目标 $\Delta T$ 处沿 $\Delta\vec V$ 方向点火；
因第二轮路径略变， $\Delta\vec V$ 需迭代收敛，通常 2-3 次即收敛。

应用要点

助推段拦截制导：弹道导弹拦截器、战略靶弹的标准制导模式。
运载器入轨：固定时间到达入轨点的助推制导。
上升段拦截/交会：从地面/亚轨道起飞到达空间指定点的实时制导。
不能直接控制末端速度：经典 LGR 只控位置，速度匹配需附加脉冲。

参考文献

Burns 和 Scherock, 2004, Lambert Guidance Routine Designed to Match Position and Velocity of Ballistic Target（LGR 原理、三维扩展、位置+速度双匹配的第四级方案）
Joonhyung Park 等, 2000, Miss Analysis in Lambert Interceptions with Application to a New Guidance Law（Lambert 拦截的脱靶量分析）