三角平动点附近的长周期、短周期与双周期运动

本文作者：天疆说

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定义

在三角平动点（$L_4$ 或 $L_5$）附近对 CR3BP 方程作线性化，得到两个面内振荡模态加一个面外简谐运动。两个面内模态分别称为长周期模态与短周期模态；两者并存的情形称为双周期运动。沿用 Catlin & McLaughlin（2007）的记号，面内频率为

地月系 $\mu \approx 0.0121506$，取 $s_1 < s_2$：$s_1$ 为长周期频率，$s_2$ 为短周期频率；面外频率 $s_z = \sqrt{1 - \mu + \mu^2} \approx 0.999893$ 接近 1。由此得三种情形的周期与椭圆轴比（相对运动椭圆半长轴与半短轴之比 $1/\bar\alpha$）：

注意：双周期的 458 天不是任一单独模态的周期，而是地月 $\mu$ 下两个频率组合的共同复现时间。

纯长周期与纯短周期运动

通过精心选取初始速度，可分别滤掉两个模态之一（Catlin & McLaughlin 2007, Eqs. 6–7）。仅保留长周期时，相对运动是面内椭圆，轴比 ≈ 16/3，周期 ≈ 92 天，所需初始相对速度在毫米/秒量级。仅保留短周期时，轴比 ≈ 2，周期 ≈ 一个朔望月。这两种单模态解是 $L_4/L_5$ 编队飞行的实用构件：运动可重复、平面、可解析描述。

自然的圆编队（轴比为 1）在纯长周期下不可能——面内频率与面外频率相去甚远（$s_z$ 远不等于 $s_1$）；只有短周期下 $s_2$ 与 $s_z$ 相差不到 0.05 无量纲频率单位，才可做平面近似实现近圆编队。即便如此，平面近似对 CR3BP 真实动力学的描述并不准确，需有源控制才能维持圆形。

双周期运动为何少用

两模态并存时，相对动力学化为复杂的三维曲线（轴比 ≈ 16/5，周期 ≈ 458 天）。数学上丰富，工程上不便：从星相对主星在任何操作上有意义的时段内都不会走出闭合曲线，因此 $L_4/L_5$ 编队概念多主动滤掉其中一模态。

初始条件敏感性

单模态运动在 $L_4/L_5$ 处的失效不源于失稳（线性化三角点在 $\mu < \mu_\text{Routh} \approx 0.0385$ 下稳定），而源于被滤模态的回归：初始条件的微小误差会重新引入被抑制的频率，数周内编队即偏离设计几何。Catlin & McLaughlin 的敏感性分析（2007, Table 3）显示：要保证 30 天内总相对位置误差低于 10%，长周期与短周期编队对初始速度的精度要求在 µm/s 量级；并行编队（面内、相位移）则宽容得多，可容忍公里量级的初始位置误差。这是为什么无源控制的三角平动点编队难以在任务时间尺度上保形，任何实用概念都需要主动控制。

摄动与模型限制

以上分析基于 CR3BP。真实地月系中，太阳引力是 $L_4/L_5$ 处的首要摄动源：短周期编队传播三年，若忽略太阳引力，相对距离误差可累积 ≈ 110 km（约为未扰幅度的 1800%）。太阳光压造成的峰值误差约 14 m（约 20%）；地球扁率影响可忽略，亚毫米量级（Catlin & McLaughlin 2007, §IV）。因此真实模型至少需用双圆模型或完整历表模型，纯 CR3BP 不足以反映 $L_4/L_5$ 长期行为。

相关概念

• 圆形限制性三体问题（CR3BP）

• 平动点（Libration Point）

• 三角平动点周期轨道族

• 雅可比常数（Jacobi Constant）

• 会合周期（Synodic Period）

参考文献

• Catlin, K. & McLaughlin, C., 2007, "Earth–Moon Triangular Libration Point Spacecraft Formations," J. Guid. Control Dyn.——长/短周期频率的推导、轴比、编队设计、敏感性分析与摄动评估（本文全部数值均出自此）。

• Catlin & McLaughlin, 2004, "Relative motion of two spacecraft near the Earth–Moon triangular libration points"——更早的平面分析。

• Szebehely, 1967, Theory of Orbits, §§5.2–5.4——$L_4/L_5$ 线性化、特征根与 Routh 稳定判据。

• Hou & Liu, 2010, "On quasi-periodic motions around the triangular libration points of the real Earth–Moon system"——历表模型下的扩展。