电推进（Electric Propulsion, EP）

本文作者：天疆说
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定义

电推进（Electric Propulsion, EP）是利用电能（通常来自太阳能电池阵或核电源）将工质电离并加速喷出以产生推力的推进技术。与化学推进依靠化学反应释放能量不同，电推进的能量来源（电源）和工质（推进剂）是分离的，因此比冲不受推进剂化学键能的限制，可达 2000--10000 秒，远高于化学火箭的 100--400 秒（Vepa 2024, Table 2.2）。

代价是推力极小。典型的电推进发动机推力在毫牛级：NASA Deep Space 1 任务使用离子推进，推力仅 92 mN，但比冲 2200 s（Fahey 2024，Table 6.2）。化学火箭推力可达数十万牛，但比冲只有 300--400 s。这一对比反映了推力与效率的根本性权衡。

在地月空间背景下，电推进的两大价值在于：(1) 大幅降低推进剂消耗，使得同样质量的航天器可以将更多质量分配给有效载荷；(2) 推力虽然小但可持续数月，适合低能转移轨道的缓慢能量积累。

火箭方程与关键参数

无论推进类型如何，航天器机动的基本约束由齐奥尔科夫斯基火箭方程（Tsiolkovsky rocket equation）给出：

\Delta v = c_e \ln\frac{m_0}{m_f} = I_{sp}\, g_0 \ln\frac{m_0}{m_f}

其中 $\Delta v$ 为速度增量， $c_e$ 为有效排气速度， $m_0$ 和 $m_f$ 分别为机动前后的航天器质量， $g_0 = 9.80665\ \mathrm{m/s^2}$ 为标准重力加速度（Vepa 2024, Eq. 5.4; Vallado 2022）。

比冲 $I_{sp}$ 是推进系统的核心性能指标，定义为推力 $F$ 与推进剂重量流量 $\dot{m} g_0$ 的比值：

I_{sp} = \frac{F}{\dot{m} g_0} = \frac{c_e}{g_0}

单位为秒。电推进典型的 $I_{sp}$ 范围（Fahey 2024, Table 2.2）：离子推力器 2000--10000 s，霍尔效应推力器 1000--8000 s，场发射电推进 7000--11000 s。对比：化学火箭 100--400 s。

推力加速度 $a_T$ 是电推进轨道设计的直接输入：

a_T = \frac{F}{m} = \frac{I_{sp}\, g_0 \, \dot{m}}{m}

对于 500 kg 航天器、92 mN 推力的 Deep Space 1 级电推进， $a_T \approx 1.84 \times 10^{-4}\ \mathrm{m/s^2}$ （Fahey 2024, Table 6.2）。此值比化学推进小 3--4 个量级，意味着轨道转移需要数周至数月。

推力幅值与推力边界：实际电推进发动机有最大推力限制 $F \leq F_{\max}$ ，部分发动机还有最小稳定推力 $F_{\min}$ ，二者构成推力边界（thrust bound）。在最优控制问题中，推力幅值作为控制变量受此边界约束——这正是 Bang-bang 控制产生的根源：最优解将推力幅值推向允许范围的上下界而非中间值。

电推进分类

按加速工质的物理机制，电推进分为三类（Vepa 2024, Ch. 5）：

类型	推力范围	$I_{sp}$ (s)	技术状态	代表型号
静电式（离子推力器）	25--300 mN	2000--10000	飞行验证	NSTAR (Deep Space 1)
电磁式（霍尔效应）	40--600 mN	1000--8000	飞行验证	SPT-100 (SMART-1)
电热式（电阻加热/电弧）	100--1000 mN	300--700	飞行验证	MR-502

太阳能电推进（Solar Electric Propulsion, SEP）不是一种独立的推进机制，而是指以太阳能电池阵作为电源的电推进系统。SEP 适用于内太阳系任务，推力加速度量级约 $10^{-5}g_0$ 。ESA 的 SMART-1 月球探测器（2003 年）和 NASA 的深空一号（1998 年）均以 SEP 验证了电推进用于深空航行的可行性。

脉冲推力 vs. 连续推力

化学推进和电推进在轨道设计中对应两种不同的数学建模方式：

脉冲推力（impulsive thrust）：假设推力 $F \to \infty$ 、燃烧时间 $\Delta t \to 0$ 、冲量 $F\Delta t$ 有限，轨道速度瞬时发生阶跃变化。适用于化学火箭，因推力远大于航天器重量，燃烧时间相比轨道周期可忽略不计。
连续推力（continuous thrust）：推力有限且在一段时间内持续施加，轨道变化由推力加速度的时间积分累积实现。适用于电推进，控制量为连续时间函数 $u(t)$ 。

连续推力模型的运动方程在二体问题中为：

\ddot{\mathbf{r}} + \frac{\mu}{r^3}\mathbf{r} = \mathbf{a}_T(t)

其中推力加速度 $\mathbf{a}_T(t)$ 的方向和大小由最优控制问题求解。在 CR3BP 框架下，将 $\mathbf{a}_T$ 加入会合坐标系的运动方程即得 CR3BP+LT 模型（Fahey 2024, Ch. 2.2）：

\ddot{x} - 2\dot{y} = \frac{\partial \Omega}{\partial x} + a_{Tx},\quad \ddot{y} + 2\dot{x} = \frac{\partial \Omega}{\partial y} + a_{Ty},\quad \ddot{z} = \frac{\partial \Omega}{\partial z} + a_{Tz}

其中 $\Omega$ 为 CR3BP 有效势。CR3BP+LT 模型下低推力会移动平动点位置（称为人工平动点），并能产生低推力周期轨道（Low-Thrust Periodic Orbit, LTPO）。

连续推力模型的数值参数化

在轨道优化中，连续推力控制加速度 $\mathbf{a}_T(t)$ 是无限维的时间函数，必须参数化为有限维变量才能数值求解。常用的参数化方法：

B 样条：以一组节点上的控制系数表示推力剖面，通过基函数插值得到任意时刻的推力值。
傅里叶级数：将推力分量展开为正弦/余弦级数，适合周期性轨道转移。
形状方法（shape method）：预设轨迹的几何形状（如指数正弦曲线），反推所需推力剖面，将最优控制问题转化为参数优化问题。

这些参数化技术能将原本无限维的最优控制问题转化为有限维非线性规划（NLP），是直接法（direct method）的核心（Betts 1998; Conway 2010）。

间接法：基于庞特里亚金极值原理推导最优性一阶必要条件，将轨迹优化转化为协态变量的两点边值问题。能保证解的最优性，但收敛域窄、初值猜测困难（朱政帆和高扬 2017）。
直接法：将状态和控制变量在时间网格上离散化，直接转化为大规模稀疏 NLP 问题，利用成熟 NLP 求解器（如 SNOPT、IPOPT）求解。收敛性好但最优性难以严格保证（Betts 2000）。

对于燃耗最优问题，最优推力幅值呈 Bang-bang 形式（见本词典 Bang-bang 控制词条）。

低推力对 CR3BP 动力学结构的影响

施加常值低推力会改变 CR3BP 的平衡点位置和轨道族结构：

人工平动点：推力改变了雅可比积分，使平动点沿推力方向偏移。
低推力禁区：与 CR3BP 的零速度面类似，给定低推力哈密顿量值后，航天器运动被限制在特定区域边界内（Cox et al. 2021）。
低推力周期轨道（LTPO）：在低推力 CR3BP（CR3BP-LT）框架下，平动点附近存在周期轨道族，其线性稳定性由中心子空间和鞍子空间的叠加构成（Cox et al. 2021）。

参考文献

Vepa, 2024, Space Vehicle Maneuvering, Propulsion, Dynamics and Control — A Textbook for Engineers. Springer. Ch. 5: 推进系统的分类、火箭方程、比冲与推力加速度的工程定义。
Vallado, 2022, Fundamentals of Astrodynamics and Applications. 火箭方程与推进系统性能的轨道力学视角。
Fahey, 2024, Design Strategies for Low Thrust Transfers in the Earth-Moon System. MS Thesis, Purdue Univ. (Howell group). CR3BP+LT 运动方程、电推进参数与间接法优化框架的系统阐述。
Betts, 2000, Very Low-Thrust Trajectory Optimization Using a Direct SQP Method. JGCD. 以改进春分点根数法处理 578 圈低推力转移的直接法实例。
McGuire et al., 2018, Low Thrust Cis-lunar Transfers Using a 40 kW-class Solar Electric Propulsion Spacecraft. 高功率 SEP 地月转移的工程分析。
Kluever, 1997, Optimal Earth-Moon Trajectories Using Combined Chemical-Electric Propulsion. 化学-电推进组合转移的原始推导。
Kluever and Pierson, 1995, Optimal Earth-Moon Trajectories Using Nuclear Electric Propulsion. TCT 序列概念的早期工作。
Cox et al., 2021, 低推力周期轨道与低推力禁区的 CR3BP-LT 研究。
朱政帆, 高扬, 2017, 空间小推力轨道最优 Bang-Bang 控制的两类延拓解法综述. 深空探测学报, 4(2): 101-110.

电推进（Electric Propulsion, EP）

定义

火箭方程与关键参数

电推进分类

脉冲推力 vs. 连续推力

连续推力模型的数值参数化

电推进地月转移策略

全程连续推力

推力-滑行-推力（Thrust-Coast-Thrust, TCT）

化学-电推进组合

推力优化

低推力对 CR3BP 动力学结构的影响

相关概念

参考文献