Lagrange 系数

本文作者：天疆说
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定义

二体问题中，任意时刻 $t$ 的位置与速度可写成初始时刻 $t_0$ 位置 $\vec r_0$ 与速度 $\vec v_0$ 的线性组合[631]，见 Vallado 2022 的 §2.5，另见 Battin 1999：

\vec r(t) = f\,\vec r_0 + g\,\vec v_0,\qquad \vec v(t) = \dot f\,\vec r_0 + \dot g\,\vec v_0.

四个系数 $f, g, \dot f, \dot g$ 称为 Lagrange 系数（Lagrange coefficients）或 f, g 函数（f and g functions）[187]。Lagrange 在 18 世纪为月球运动研究提出此形式。它把在中心引力场中如何由一段状态推算另一段状态（开普勒问题）线性化地表达出来，是二体传播、初轨确定与兰伯特问题求解的基础构件[186]。

基本恒等式

由于二体运动角动量 $\vec h=\vec r\times\vec v$ 守恒，把 $\vec r=f\vec r_0+g\vec v_0$ 、 $\vec v=\dot f\vec r_0+\dot g\vec v_0$ 代入 $\vec r\times\vec v=\vec r_0\times\vec v_0$ 并展开，得

f\dot g - \dot f\,g \equiv 1.\quad(\text{Vallado 2022, Eq. 2-63})

这个恒等式在数值实现中是免费的精度检查：任何 $f,g,\dot f,\dot g$ 的封闭或近似表达都必须满足它，否则违反了角动量守恒。

按不同自变量的封闭形式

Lagrange 系数的具体表达式取决于知道什么量，通常以某个轨道异常量之差作为自变量，见 §2.5。

由真近点角差 $\Delta\nu$

当已知 $\Delta\nu=\nu-\nu_0$ 时，

f = 1-\frac{r}{p}(1-\cos\Delta\nu),\quad g = \frac{r r_0}{\sqrt{\mu p}}\sin\Delta\nu,

\dot f = \sqrt{\frac{\mu}{p}}\tan\!\frac{\Delta\nu}{2}\!\left(\frac{1-\cos\Delta\nu}{p}-\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right),\quad \dot g = 1-\frac{r_0}{p}(1-\cos\Delta\nu),

其中 $p=h^2/\mu=a(1-e^2)$ 是半通径。

由偏近点角差 $\Delta E$ （椭圆）

f = 1-\frac{a}{r_0}(1-\cos\Delta E),\quad g = (t-t_0)-\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}(\Delta E-\sin\Delta E),

\dot f = -\frac{\sqrt{\mu a}}{r_0 r}\sin\Delta E,\quad \dot g = 1-\frac{a}{r}(1-\cos\Delta E).

$\Delta E$ 由开普勒方程 $M-M_0=\Delta E-e(\sin E-\sin E_0)$ 隐式确定。这是椭圆轨道数值传播最常用的形式。

由抛物线异常 $B$ （抛物线）

f = \frac{1-B^2+2BB_0}{1+B_0^2},\quad g = \frac{p^2\Delta B(1+BB_0)}{2h},\quad \dot f = \frac{4h\,\Delta B}{p^2(1+B^2)(1+B_0^2)},\quad \dot g = \frac{1-B_0^2+2BB_0}{1+B^2}.

由双曲线异常 $\Delta H$ （双曲线）

f = 1-\frac{a}{r_0}(1-\cosh\Delta H),\quad g = (t-t_0)-\sqrt{\frac{(-a)^3}{\mu}}(\sinh\Delta H-\Delta H),

\dot f = -\frac{\sqrt{-\mu a}}{r_0 r}\sinh\Delta H,\quad \dot g = 1-\frac{a}{r}(1-\cosh\Delta H).

由通用变量 $\chi$ （统一形式）

通用变量法把椭圆、抛物、双曲统一起来，避免轨道类型分支：

f = 1-\frac{\chi^2}{r_0}c_2,\quad g = (t-t_0)-\frac{\chi^3}{\sqrt{\mu}}c_3,

\dot f = \frac{\sqrt{\mu}}{r_0 r}\chi(\psi c_3-1),\quad \dot g = 1-\frac{\chi^2}{r}c_2,

其中 $\psi=\chi^2/a$ （带符号）， $c_2, c_3$ 是 Stumpff 函数。这一形式是通用变量法的核心，其统一形式的推导见 Vallado 2022 的 Eq. 2-68 与 Battin 1987。

级数形式（初轨确定专用）

只知道 $t_0$ 时刻的位置矢量大小 $r_0$ 、无法直接得到轨道根数时（典型于初轨确定的 Gauss 方法），用 $u\triangleq\mu/r_0^3$ 把 $\vec r(t)$ 在 $t_0$ 附近作 Taylor 展开，得到 $f$ 与 $g$ 的级数形式，见 Escobal 1965 与 Vallado 2022 的 Eq. 2-69：

f = 1-\frac{u}{2}\tau^2-\frac{\dot u}{6}\tau^3-\frac{\ddot u-u^2}{24}\tau^4-\cdots,

g = \tau-\frac{u}{6}\tau^3-\frac{\dot u}{12}\tau^4-\frac{3\ddot u-u^2}{120}\tau^5-\cdots,

其中 $\tau=t-t_0$ ，各阶 $u$ 的导数在 $t_0$ 处取值[297]。级数在 $\tau$ 较短（典型为观测弧段的一小段）时收敛快，是只使用位置观测信息便可实现的传播工具[386]。

应用要点

二体传播：给定 $\vec r_0, \vec v_0$ 与飞行时间，用开普勒方程解出 $\Delta E$ （或 $\Delta H$ ），代入相应封闭式得 $\vec r(t),\vec v(t)$ 。
兰伯特问题：兰伯特问题用 $f$ 把 $\vec r_0\to\vec r$ 的位置关系化为关于半长轴 $a$ 的一个超越方程。多圈解、通用变量算法（Battin-Vaughan、Gooding）都建立在 $f,g$ 表达之上。
初轨确定：Gauss 方法用 $f,g$ 的级数形式，把三个观测时刻的位置-速度耦合为关于 $\vec r_2$ 的迭代，是只用角度观测（或角度+少量距离）确定轨道的经典方法。
精度检查：在数值实现里，每步传播后用 $f\dot g-\dot f g-1$ 的偏差评估积分误差。

易混点

Lagrange 系数 vs. Lagrange 行星运动方程：前者是二体状态的线性传递关系，后者是轨道根数随时间的变分方程（用摄动加速度的 R/S/W 分量表达）。同名 Lagrange，截然不同的对象。
f, g 函数 vs. 通用变量：通用变量 $\chi$ 是自变量。f, g 是用它表达的系数对。所谓用通用变量法传播，实际指用 $\chi$ 表达的 f, g 函数传播。
f, g 在兰伯特问题里：兰伯特问题里 $\vec r_0, \vec r$ 已知， $\vec v_0, \vec v$ 待求。由 $\vec r=f\vec r_0+g\vec v_0$ 反解 $\vec v_0=(\vec r-f\vec r_0)/g$ ，再由 $\vec v=\dot f\vec r_0+\dot g\vec v_0$ 得 $\vec v$ 。这是 $f,g$ 在边值问题中的角色。