本文作者：天疆说
本站地址：https://cislunarspace.cn
二体问题中，任意时刻 t t t t 0 t_0 t 0 r ⃗ 0 \vec r_0 r 0 v ⃗ 0 \vec v_0 v 0 线性组合 （Vallado 2022, §2.5；Battin 1999）：
r ⃗ ( t ) = f r ⃗ 0 + g v ⃗ 0 , v ⃗ ( t ) = f ˙ r ⃗ 0 + g ˙ v ⃗ 0 . \vec r(t) = f\,\vec r_0 + g\,\vec v_0,\qquad \vec v(t) = \dot f\,\vec r_0 + \dot g\,\vec v_0. r ( t ) = f r 0 + g v 0 , v ( t ) = f ˙ r 0 + g ˙ v 0 .
四个系数 f , g , f ˙ , g ˙ f, g, \dot f, \dot g f , g , f ˙ , g ˙ Lagrange 系数 （Lagrange coefficients）或 f, g 函数 （f and g functions）。Lagrange 在 18 世纪为月球运动研究提出此形式；它把"在中心引力场中如何由一段状态推算另一段状态"——开普勒问题——线性化地表达出来，是二体传播、初轨确定与 兰伯特问题 求解的基础构件。
由于二体运动角动量 h ⃗ = r ⃗ × v ⃗ \vec h=\vec r\times\vec v h = r × v r ⃗ = f r ⃗ 0 + g v ⃗ 0 \vec r=f\vec r_0+g\vec v_0 r = f r 0 + g v 0 v ⃗ = f ˙ r ⃗ 0 + g ˙ v ⃗ 0 \vec v=\dot f\vec r_0+\dot g\vec v_0 v = f ˙ r 0 + g ˙ v 0 r ⃗ × v ⃗ = r ⃗ 0 × v ⃗ 0 \vec r\times\vec v=\vec r_0\times\vec v_0 r × v = r 0 × v 0
f g ˙ − f ˙ g ≡ 1. ( Vallado 2022, Eq. 2-63 ) f\dot g - \dot f\,g \equiv 1.\quad(\text{Vallado 2022, Eq. 2-63}) f g ˙ − f ˙ g ≡ 1. ( Vallado 2022, Eq. 2-63 )
这个恒等式在数值实现中是免费的精度检查：任何 f , g , f ˙ , g ˙ f,g,\dot f,\dot g f , g , f ˙ , g ˙
Lagrange 系数的具体表达式取决于"知道什么量"——通常以某个轨道异常量之差作为自变量（Vallado 2022, §2.5）。
当已知 Δ ν = ν − ν 0 \Delta\nu=\nu-\nu_0 Δ ν = ν − ν 0
f = 1 − r p ( 1 − cos Δ ν ) , g = r r 0 μ p sin Δ ν , f = 1-\frac{r}{p}(1-\cos\Delta\nu),\quad g = \frac{r r_0}{\sqrt{\mu p}}\sin\Delta\nu, f = 1 − p r ( 1 − cos Δ ν ) , g = μ p r r 0 sin Δ ν ,
f ˙ = μ p tan Δ ν 2 ( 1 − cos Δ ν p − 1 r − 1 r 0 ) , g ˙ = 1 − r 0 p ( 1 − cos Δ ν ) , \dot f = \sqrt{\frac{\mu}{p}}\tan\!\frac{\Delta\nu}{2}\!\left(\frac{1-\cos\Delta\nu}{p}-\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right),\quad \dot g = 1-\frac{r_0}{p}(1-\cos\Delta\nu), f ˙ = p μ tan 2 Δ ν ( p 1 − cos Δ ν − r 1 − r 0 1 ) , g ˙ = 1 − p r 0 ( 1 − cos Δ ν ) ,
其中 p = h 2 / μ = a ( 1 − e 2 ) p=h^2/\mu=a(1-e^2) p = h 2 / μ = a ( 1 − e 2 )
f = 1 − a r 0 ( 1 − cos Δ E ) , g = ( t − t 0 ) − a 3 μ ( Δ E − sin Δ E ) , f = 1-\frac{a}{r_0}(1-\cos\Delta E),\quad g = (t-t_0)-\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}(\Delta E-\sin\Delta E), f = 1 − r 0 a ( 1 − cos Δ E ) , g = ( t − t 0 ) − μ a 3 ( Δ E − sin Δ E ) ,
f ˙ = − μ a r 0 r sin Δ E , g ˙ = 1 − a r ( 1 − cos Δ E ) . \dot f = -\frac{\sqrt{\mu a}}{r_0 r}\sin\Delta E,\quad \dot g = 1-\frac{a}{r}(1-\cos\Delta E). f ˙ = − r 0 r μ a sin Δ E , g ˙ = 1 − r a ( 1 − cos Δ E ) .
Δ E \Delta E Δ E M − M 0 = Δ E − e ( sin E − sin E 0 ) M-M_0=\Delta E-e(\sin E-\sin E_0) M − M 0 = Δ E − e ( sin E − sin E 0 )
f = 1 − B 2 + 2 B B 0 1 + B 0 2 , g = p 2 Δ B ( 1 + B B 0 ) 2 h , f ˙ = 4 h Δ B p 2 ( 1 + B 2 ) ( 1 + B 0 2 ) , g ˙ = 1 − B 0 2 + 2 B B 0 1 + B 2 . f = \frac{1-B^2+2BB_0}{1+B_0^2},\quad g = \frac{p^2\Delta B(1+BB_0)}{2h},\quad \dot f = \frac{4h\,\Delta B}{p^2(1+B^2)(1+B_0^2)},\quad \dot g = \frac{1-B_0^2+2BB_0}{1+B^2}. f = 1 + B 0 2 1 − B 2 + 2 B B 0 , g = 2 h p 2 Δ B ( 1 + B B 0 ) , f ˙ = p 2 ( 1 + B 2 ) ( 1 + B 0 2 ) 4 h Δ B , g ˙ = 1 + B 2 1 − B 0 2 + 2 B B 0 .
f = 1 − a r 0 ( 1 − cosh Δ H ) , g = ( t − t 0 ) − ( − a ) 3 μ ( sinh Δ H − Δ H ) , f = 1-\frac{a}{r_0}(1-\cosh\Delta H),\quad g = (t-t_0)-\sqrt{\frac{(-a)^3}{\mu}}(\sinh\Delta H-\Delta H), f = 1 − r 0 a ( 1 − cosh Δ H ) , g = ( t − t 0 ) − μ ( − a ) 3 ( sinh Δ H − Δ H ) ,
f ˙ = − − μ a r 0 r sinh Δ H , g ˙ = 1 − a r ( 1 − cosh Δ H ) . \dot f = -\frac{\sqrt{-\mu a}}{r_0 r}\sinh\Delta H,\quad \dot g = 1-\frac{a}{r}(1-\cosh\Delta H). f ˙ = − r 0 r − μ a sinh Δ H , g ˙ = 1 − r a ( 1 − cosh Δ H ) .
通用变量法把椭圆、抛物、双曲统一起来，避免轨道类型分支：
f = 1 − χ 2 r 0 c 2 , g = ( t − t 0 ) − χ 3 μ c 3 , f = 1-\frac{\chi^2}{r_0}c_2,\quad g = (t-t_0)-\frac{\chi^3}{\sqrt{\mu}}c_3, f = 1 − r 0 χ 2 c 2 , g = ( t − t 0 ) − μ χ 3 c 3 ,
f ˙ = μ r 0 r χ ( ψ c 3 − 1 ) , g ˙ = 1 − χ 2 r c 2 , \dot f = \frac{\sqrt{\mu}}{r_0 r}\chi(\psi c_3-1),\quad \dot g = 1-\frac{\chi^2}{r}c_2, f ˙ = r 0 r μ χ ( ψ c 3 − 1 ) , g ˙ = 1 − r χ 2 c 2 ,
其中 ψ = χ 2 / a \psi=\chi^2/a ψ = χ 2 / a c 2 , c 3 c_2, c_3 c 2 , c 3 通用变量法 的核心。
只知道 t 0 t_0 t 0 r 0 r_0 r 0 u ≜ μ / r 0 3 u\triangleq\mu/r_0^3 u ≜ μ / r 0 3 r ⃗ ( t ) \vec r(t) r ( t ) t 0 t_0 t 0 f f f g g g
f = 1 − u 2 τ 2 − u ˙ 6 τ 3 − u ¨ − u 2 24 τ 4 − ⋯ , f = 1-\frac{u}{2}\tau^2-\frac{\dot u}{6}\tau^3-\frac{\ddot u-u^2}{24}\tau^4-\cdots, f = 1 − 2 u τ 2 − 6 u ˙ τ 3 − 24 u ¨ − u 2 τ 4 − ⋯ ,
g = τ − u 6 τ 3 − u ˙ 12 τ 4 − 3 u ¨ − u 2 120 τ 5 − ⋯ , g = \tau-\frac{u}{6}\tau^3-\frac{\dot u}{12}\tau^4-\frac{3\ddot u-u^2}{120}\tau^5-\cdots, g = τ − 6 u τ 3 − 12 u ˙ τ 4 − 120 3 u ¨ − u 2 τ 5 − ⋯ ,
其中 τ = t − t 0 \tau=t-t_0 τ = t − t 0 u u u t 0 t_0 t 0 τ \tau τ
二体传播 ：给定 r ⃗ 0 , v ⃗ 0 \vec r_0, \vec v_0 r 0 , v 0 Δ E \Delta E Δ E Δ H \Delta H Δ H r ⃗ ( t ) , v ⃗ ( t ) \vec r(t),\vec v(t) r ( t ) , v ( t ) 兰伯特问题 ：兰伯特问题 用 f f f r ⃗ 0 → r ⃗ \vec r_0\to\vec r r 0 → r a a a f , g f,g f , g 初轨确定 ：Gauss 方法用 f , g f,g f , g r ⃗ 2 \vec r_2 r 2 精度检查 ：在数值实现里，每步传播后用 f g ˙ − f ˙ g − 1 f\dot g-\dot f g-1 f g ˙ − f ˙ g − 1 Lagrange 系数 vs. Lagrange 行星运动方程 ：前者是二体状态的线性传递关系，后者是轨道根数随时间的变分方程（用摄动加速度的 R/S/W 分量表达）。同名 Lagrange，截然不同的对象。f, g 函数 vs. 通用变量 ：通用变量 χ \chi χ χ \chi χ f, g 在兰伯特问题里 ：兰伯特问题里 r ⃗ 0 , r ⃗ \vec r_0, \vec r r 0 , r v ⃗ 0 , v ⃗ \vec v_0, \vec v v 0 , v r ⃗ = f r ⃗ 0 + g v ⃗ 0 \vec r=f\vec r_0+g\vec v_0 r = f r 0 + g v 0 v ⃗ 0 = ( r ⃗ − f r ⃗ 0 ) / g \vec v_0=(\vec r-f\vec r_0)/g v 0 = ( r − f r 0 ) / g v ⃗ = f ˙ r ⃗ 0 + g ˙ v ⃗ 0 \vec v=\dot f\vec r_0+\dot g\vec v_0 v = f ˙ r 0 + g ˙ v 0 v ⃗ \vec v v f , g f,g f , g Vallado, D. A. (2022). Fundamentals of Astrodynamics and Applications , 5th ed., §2.5 (Classical Formulas Using f and g Functions) and §2.6 (Series Forms of f and g). Microcosm Press. Battin, R. H. (1999). An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics , Revised Edition. AIAA. Bate, R. R., Mueller, D. D., & White, J. E. (1971). Fundamentals of Astrodynamics . Dover. Escobal, P. R. (1965, reprinted 1985). Methods of Orbit Determination , 2nd ed. Krieger. Herrick, S. (1971). Astrodynamics , Vol. 1. Van Nostrand Reinhold. 