KSG）

本文作者：天疆说
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定义

多步积分器利用当前时刻的状态加上此前若干步已算出的函数值历史（回值，back values），将解从 $t_n$ 推进到 $t_{n+1}$ 。这与仅用 $t_n$ 时刻状态的单步法（如 Runge-Kutta）不同。多步法通常以**预测-校正（predictor-corrector）**对的形式工作：预测公式给出初估 $y_{n+1}^p$ ，校正公式利用预测态的函数值对解做精化（Vallado 2022, Sec. 8.5–8.6）。

因为重复利用历史估值，多步法每步仅需 1–2 次力模型调用——远少于 Runge-Kutta 的 $s$ 级估值。代价是：不能自起步，需存储回值历史与累积差分，变步长控制更为复杂。

在航天动力学中，多步法按求解的方程分为两大路线：

单重积分法（一阶 ODE）：Adams-Bashforth（预测） + Adams-Moulton（校正）。
双重积分法（二阶 ODE，如 $\ddot{\vec{r}} = \vec{a}(\vec{r}, \vec{v}, t)$ ）：Störmer（预测） + Cowell（校正），及其求和形式 Gauss-Jackson。 "Cowell 公式"不指某个特定的积分器，而指直接对二阶运动方程积分、免去速度中间变量的做法——1909 年 Philip Cowell 以此方法预报哈雷彗星回归（Vallado 2022）。

Adams-Bashforth-Moulton（单重积分）

对 $\dot{y} = f(t, y)$ ，Adams-Bashforth 预测器用此前 $f$ 的历史估值拟合插值多项式并向前积分；Adams-Moulton 校正器拟合包含预测点的多项式（Vallado 2022, Sec. 8.5.2）。 4 阶预测器（Adams-Bashforth 纵标形式）：

y_{n+1}^p = y_n + \frac{h}{24}\{55\dot{y}_n - 59\dot{y}_{n-1} + 37\dot{y}_{n-2} - 9\dot{y}_{n-3}\}

4 阶校正器（Adams-Moulton 纵标形式）：

y_{n+1} = y_n + \frac{h}{24}\{9\dot{y}_{n+1}^p + 19\dot{y}_n - 5\dot{y}_{n-1} + \dot{y}_{n-2}\}

高阶变体（8 阶、12 阶）在业务软件中常用（Maury and Segal 1969）。

Cowell / Störmer-Cowell / Gauss-Jackson（双重积分）

Cowell 公式直接对 $\ddot{\vec{r}} = \vec{a}$ 积分。Störmer 预测器估算位置，Cowell 校正器精化。对无速度依赖、无保守力的近圆轨道问题，完全跳过中间速度计算。

Gauss-Jackson 是 Störmer-Cowell 的定步长求和纵标（summed-ordinate）形式——长弧轨道星历生成的主力工具。它用一阶和二阶求和回值差分 $\vec{S}_n^{\text{I}}$ 、 $\vec{S}_n^{\text{II}}$ 抑制舍入误差。Herrick（1972）指出，近圆 LEO 轨道 Gauss-Jackson 比 RK4 快约一个数量级。预测公式（Gauss 求和纵标， $j$ 阶）：

\dot{\vec{r}}_{n+1}^p = h\left\{\alpha_{So}\vec{S}_n^{\text{II}} + \alpha_{S1}\vec{S}_n^{\text{I}} + \sum_{i=0}^{j}\beta_{Si}\ddot{\vec{r}}_{n-i}\right\}

校正公式（Jackson 求和纵标， $j$ 阶）：

\vec{r}_{n+1} = h\left\{\alpha_{So}\vec{S}_{n+1}^{\text{II}} + (\alpha_{So}+\alpha_{S1})\vec{S}_{n+1}^{\text{I}} + \sum_{i=0}^{j}\beta_{Ci}\ddot{\vec{r}}_{n+1-i}\right\}

系数表见 Vallado（2022, Table 8-1）。

Krogh-Shampine-Gordon（KSG）与变步长多步法

KSG 积分器（Krogh 1974; Shampine and Gordon 1975）用**均差（divided difference）**替代固定步长回值差分，在多步框架内实现自然变步长控制。它是一种非求和、变步长、可自起步的积分器（Krogh 1974），对大偏心率轨道尤为适用——避免 Gauss-Jackson 在远地点的步长浪费。在地月空间编目定轨中已有应用，采用 60 秒步长对三体动力学模型积分（陈艳玲等 2025）。

Vallado（2022）指出，Shampine-Gordon（及 Berry and Healy 2004 的最新实现）作为 Adams-Bashforth-Moulton 的替代方案值得进一步关注。

多步法的启动

多步法需 $j$ 个回值才能起步。常用启动策略（Vallado 2022, Sec. 8.5.1）：

用匹配阶数的 Runge-Kutta 法生成前 $j$ 个值（例如 8 阶 RK 搭配 8 阶 Gauss-Jackson）。
用迭代启动程序将多步公式移位校正回值点。
用低阶方法搭配较小步长。关键要求：启动方法的误差不得大于多步法本身的误差（Maury and Segal 1969）。

时间正则化 Cowell（s 积分）

对高偏心率轨道，正则化消除 $1/r$ 奇点并自动在近地点缩步。时间正则化 Cowell（亦称 s 积分）以辅助变量 $s$ 替代 $t$ ，通过广义 Sundman 变换 $dt = c r^n ds$ （Vallado 2022, Eq. 8-9）。 $n=1$ 时 $s$ 为偏近点角， $n=2$ 时 $s$ 为真近点角。代价是求解七阶微分方程，并将结果内插回复等时间间距。

积分器选择指南

轨道类型	推荐积分器	步长策略
近圆 LEO	Gauss-Jackson（8 阶）	定步长，~60 s
近圆 GEO/HEO	Gauss-Jackson 或 Adams-Bashforth-Moulton	定步长，~5–10 min
大偏心率（ $e > 0.5$ ）	Runge-Kutta-Fehlberg 或 KSG	变步长
有推力弧段	Runge-Kutta（中等阶）	变步长
地月空间 CR3BP	RK7/8 或 KSG	~60–120 s

参考文献

Vallado, 2022, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, Secs. 8.4–8.6（Cowell 公式的历史与含义；Adams-Bashforth-Moulton 预测校正推导；Gauss-Jackson 求和纵标形式；Krogh/Shampine-Gordon 讨论；时间正则化 Cowell）
Maury and Segal, 1969, Cowell Type Numerical Integration as Applied to Satellite Orbit Computation, GSFC X-553-69-164（1–15 阶系数表）
Berry and Healy, 2001, Comparison of Accuracy Assessment Techniques for Numerical Integration, AAS 01-183（Gauss-Jackson 详细实现与误差分析）
Krogh, 1974, Changing Stepsize in the Integration of Differential Equations Using Modified Divided Differences, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 362, Springer-Verlag
Shampine and Gordon, 1975, Computer Solution of Ordinary Differential Equations, W.H. Freeman
Herrick, 1972, Astrodynamics, Vol. 2（Gauss-Jackson 与 RK4 效率对比）
Berry, 2004, 私人交流，Vallado 2022 引用（Störmer-Cowell 与 Krogh 变步长实现）
陈艳玲等, 2025, 地月空间编目系统观测体制研究, 飞行器测控学报（KSG 积分器以 60 s 步长对完备三体动力学模型积分）