间接法（Indirect Methods）

本文作者：天疆说

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定义

间接法（indirect method）是轨迹优化的一类方法：先用 庞特里亚金极值原理 把最优控制问题化为一组含必要条件的方程——状态-协态 Hamilton 正则方程加横截条件，得到 两点边值问题（TPBVP），再用打靶、配点或其它数值方法求解该 BVP（Betts 1998；Conway 2010；Bryson & Ho 1975）。

与 直接法（把状态-控制时间序列直接离散化为 NLP 参数）相对，间接法的核心特征是"先把最优性条件解出来再求数值解"。它的优点是解严格满足一阶必要条件、参数维度低、精度高（数值上可达机器精度）；缺点是收敛域窄、对协态初值极度敏感、不连续控制（Bang-bang）处雅可比难算。

数学框架

最优控制问题

一般 Bolza 形式：

min⁡u  J=Φ(x(tf),tf)+∫t0tfL(x,u,t) dt,\min_{u}\;J=\Phi(\mathbf{x}(t_f),t_f)+\int_{t_0}^{t_f}L(\mathbf{x},\mathbf{u},t)\,dt,

受动力学约束 x˙=f(x,u,t)\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x},\mathbf{u},t)、端点约束与路径约束。

Hamilton 正则方程

引入协态 λ(t)\boldsymbol{\lambda}(t) 构造哈密顿 H=L+λTfH=L+\boldsymbol{\lambda}^{\mathrm{T}}\mathbf{f}。庞特里亚金极值原理 给出：

x˙=∂H∂λ,λ˙=−∂H∂x,u∗=arg⁡min⁡u∈UH.\dot{\mathbf{x}}=\frac{\partial H}{\partial\boldsymbol{\lambda}},\qquad \dot{\boldsymbol{\lambda}}=-\frac{\partial H}{\partial\mathbf{x}},\qquad \mathbf{u}^{*}=\arg\min_{\mathbf{u}\in\mathcal{U}}H.

第一式是状态方程，第二式是 协态方程，第三式是极值条件（解析消去 u\mathbf{u} 后，控制成为状态与协态的函数）。加上端点处的 横截条件：

λ(tf)=∂Φ∂x∣tf+νT∂ψ∂x∣tf,\boldsymbol{\lambda}(t_f)=\frac{\partial\Phi}{\partial\mathbf{x}}\bigg|_{t_f}+\boldsymbol{\nu}^{\mathrm{T}}\frac{\partial\boldsymbol{\psi}}{\partial\mathbf{x}}\bigg|_{t_f},

其中 ψ(x(tf),tf)=0\boldsymbol{\psi}(\mathbf{x}(t_f),t_f)=\mathbf{0} 为终端等式约束，ν\boldsymbol{\nu} 为对应乘子。若终端时间自由，还需 H(tf)+∂Φ/∂t+νT∂ψ/∂t=0H(t_f)+\partial\Phi/\partial t+\boldsymbol{\nu}^{\mathrm{T}}\partial\boldsymbol{\psi}/\partial t=0。

TPBVP 与打靶函数

合并状态-协态方程为 y˙=F(y)\dot{\mathbf{y}}=\mathbf{F}(\mathbf{y})，y=[x;λ]\mathbf{y}=[\mathbf{x};\boldsymbol{\lambda}]。初始状态 x(t0)\mathbf{x}(t_0) 已知、初始协态 λ(t0)=z\boldsymbol{\lambda}(t_0)=\mathbf{z} 未知，数值积分到 tft_f，得到残差 s(z)=ψ(x(tf;z))\mathbf{s}(\mathbf{z})=\boldsymbol{\psi}(\mathbf{x}(t_f;\mathbf{z}))。打靶函数 s(z)=0\mathbf{s}(\mathbf{z})=\mathbf{0} 即要解的非线性方程组。

数值求解策略

单次打靶 vs. 多重打靶

  • 单次打靶（single shooting）：把整段轨迹当作一次初值问题，对 z\mathbf{z} 用牛顿法。实现简单但雅可比条件数大，对长转移不稳健。
  • 多重打靶（multiple shooting）：把 [t0,tf][t_0,t_f] 分段，每段独立积分，段间用匹配条件连接。自由变量-约束法（free-variable and constraint method）就是多重打靶的工程化形式——把所有节点的状态、协态、参数堆叠为自由变量向量 V\mathbf{V}，把段间连续性、端点条件堆叠为约束向量 C(V)=0\mathbf{C}(\mathbf{V})=\mathbf{0}，用牛顿法解线性方程组（Spreen 2021；微分修正）。

间接配点法

间接配点法（indirect collocation）把状态-协态方程同时用配点离散化——典型如 Dickmanns 与 Wells 的 Hermite-Simpson 配点——把 TPBVP 转为一组代数方程求解（Dickmanns & Wells；Conway 2010）。它消除了打靶法"前向积分放大误差"的病态，对长转移与多切换问题更稳健；代价是参数维度大幅增加。

注：Hargraves 与 Paris（1987）观察到把协态消去、直接对状态-控制做配点（即 直接配点法）反而更鲁棒——这是直接法兴起的起点。现代间接配点法多用于必须严格满足 PMP 的场合（如可微 NLP 求解器内部）。

间接启发式方法

间接启发式方法（indirect heuristic method）把 PMP 与元启发式算法结合：用遗传算法、粒子群或差分进化搜索协态初值 z\mathbf{z}（可能同时搜索脉冲数、阶段结构等离散变量），每次评估候选时按 PMP 解析给出控制律并积分轨迹（Pontani 与 Conway 2009；Conway 2010）。它绕开了牛顿法对初值的敏感性，代价是评估次数多、精度不如纯打靶。适合存在离散决策或大量局部最优的问题。

混合直接-间接法

混合直接-间接法（hybrid direct/indirect）用间接法的极值条件减少控制参数维度，再用直接法的 NLP 求解器处理剩余参数（Kluever 与 Pierson 1997）。例如：对每段推力方向用 α∗=p/∥p∥\boldsymbol{\alpha}^{*}=\mathbf{p}/\|\mathbf{p}\| 闭式给出，只把脉冲时刻、节流开关、阶段端点时间作为 NLP 变量。该思路兼顾间接法的"控制降维"和直接法的"对协态不敏感"，是工程上常用折衷。

间接多阶段构型（IMF）

间接多阶段构型（Indirect Multi-Stage Formulation, IMF）把完整轨迹划分为若干阶段，每阶段独立列状态-协态方程与控制律，阶段之间用等式约束（位置、速度、质量、协态的连续性）连接（Bowerfind 与 Taheri 2024）。该形式特别适合含模式切换的任务（如推力段-空气动力段-滑行段组合、多脉冲点间巡航）。阶段数既可固定也可作为整数变量。

关键数值工具

协态归一化

由于哈密顿系统在协态整体放缩下不变（HH 与 λ\boldsymbol{\lambda} 同时乘正常数仍满足必要条件），可固定 ∥λ(t0)∥=1\|\boldsymbol{\lambda}(t_0)\|=1，把搜索空间从 Rn\mathbb{R}^n 缩到单位球面 Sn−1S^{n-1}，维度减一且数值条件数改善（Taheri 等 2016；协态变量）。

切换点检测

Bang-bang 控制的切换时刻是 ρ(t)=0\rho(t)=0 的根，需精确定位以避免雅可比不连续。牛顿-二分混合切换检测先用牛顿法快速定位（通常 4–5 次迭代达机器精度），失败或越界时退回二分法保底（Zhang et al. 2015；Martinon 与 Gergaud 2010）。这是间接法求解 Bang-bang 控制 问题的标准组件。

跳跃条件

当最优控制问题含 状态约束（如最大过载、最短离月高度）时，协态与哈密顿在约束激活区间的进入/退出时刻可能发生跳跃，跳跃幅度由约束梯度与非负乘子 η\eta 决定：

λ(tc+)=λ(tc−)−η ∇xg(x(tc),tc).\boldsymbol{\lambda}(t_c^{+})=\boldsymbol{\lambda}(t_c^{-})-\eta\,\nabla_{\mathbf{x}}g(\mathbf{x}(t_c),t_c).

约束不显含时间时 HH 在跳跃点保持连续。切换面（switching surface）是协态-状态空间中 ρ=0\rho=0 的余维一子流形，最优轨迹在该面处可能切换控制或进入奇异弧（Hartl 等 1995；Caillau 与 Daoud 2012）。

平滑技术与同伦

为绕开 Bang-bang 不连续与协态初值敏感，主流做法是用 同伦方法 把光滑的"易解姊妹问题"（如能量最优）逐步变形为目标问题（如燃料最优 Bang-off-Bang）。代价函数同伦、推力幅值同伦、平滑 sigmoid 三类技术在文献中已标准化（Bertrand & Epenoy 2002；Taheri 等 2016；Zhang et al. 2025），详见 同伦方法。

内层-外层循环

参数化最优控制（如基于 Theory of Functional Connections 的形函数近似）常用 内层-外层循环结构：内层最小化残差获得状态与代价向量，外层优化切换时间与终端时间（Johnston et al. 2020）。该结构与多重打靶在思路上同源——把"快变量"与"慢变量"分层求解。

与直接法的辨析

维度间接法直接法
决策变量协态初值 λ(t0)\boldsymbol{\lambda}(t_0)、参数离散状态、控制时间序列
必要条件严格满足 PMP数值近似，事后检验
收敛初值协态猜测难找，收敛半径小任意可行猜测，收敛半径大
解精度高（可达 10−1210^{-12}）受网格限制
控制结构自然产生 Bang-bang需事后检验脉冲数
参数维度小（数十量级）大（数百至数千）

工程上常见的做法是用直接法或启发式方法找到粗解，再用间接法精修至机器精度，并利用 primer vector 与切换函数做事后最优性检验（Conway 2010；Betts 1998）。

应用要点

  • 地月低推力转移：L1L_1/L2L_2 Halo 间、LEO 到 NRHO 的燃料最优转移是间接法 + 同伦的主战场。
  • 多脉冲转移优化：用 primer vector 梯度法判定脉冲数与时刻，再用间接法把脉冲模型升级为有限推力精修。
  • 轨道保持与避碰：固定时长的小型 TPBVP 可实时求解，用于 NRHO 等轨道的连续推力保持与碰撞规避。
  • 相对运动最优控制：在三体动力学下控制伴随卫星相对于参考卫星的相对状态——通过变分方程与预计算的状态转移矩阵，可在 O(mn3)O(mn^3) 内近似求解任意边界条件（Kulik 等 2023）。

相关概念

参考文献

  • Bryson, A. E., and Ho, Y.-C. 1975. Applied Optimal Control. Hemisphere.（最优控制与间接法的系统教材）
  • Betts, J. T. 1998. "Survey of Numerical Methods for Trajectory Optimization." JGCD 21(2): 193–207.（间接法 vs. 直接法的经典对比综述）
  • Conway, B. A. (ed.) 2010. Spacecraft Trajectory Optimization. Cambridge Univ. Press. Ch. 1, 2, 3, 7.（间接法、直接配点、 primer vector 与脉冲方法的统一教材）
  • Dickmanns, E. D., and Wells, K. H. 1974. "Approximate Solution of Optimal Control Problems Using Hermite-Simpson Collocation."（间接配点法的早期工作）
  • Hargraves, C. R., and Paris, S. W. 1987. "Direct Trajectory Optimization Using Nonlinear Programming and Collocation." JGCD 10(4): 338–342.（直接配点法的起点，"消去协态"的关键观察）
  • Pontani, M., and Conway, B. A. 2009. "Numerical Solution of the Three-Dimensional Orbital Pursuit-Evasion Game." JGCD.（间接启发式方法的典型实现）
  • Kluever, C. A., and Pierson, B. L. 1997. "Optimal Earth-Moon Trajectories Using Nuclear Electric Propulsion." JGCD.（混合直接-间接法在地月转移中的应用）
  • Bowerfind, W. M., and Taheri, E. 2024. "Rapid Approximation of Low-Thrust Spacecraft Reachable Sets."（间接多阶段构型 IMF 的近期工作）
  • Spreen, J. S. 2021. Robust Spacecraft Trajectory Optimization via Convex and Least-Squares Approaches. PhD Thesis, Univ. of Colorado.（自由变量-约束法在多重打靶中的实现）
  • Zhang, B., et al. 2015. "Switching Detection for Bang-Bang Control in Low-Thrust Trajectory Optimization." JGCD, doi:10.2514/1.G001080.
  • Martinon, P., and Gergaud, J. 2010. "Switching Time Detection for Optimal Control Problems." INRIA TR-7380.
  • Hartl, R. F., Sethi, S. P., and Vickson, R. G. 1995. "A Survey of the Maximum Principles for Optimal Control Problems with State Constraints." SIAM Review 37(2): 181–218.（状态约束下的跳跃条件综述）
  • Caillau, J.-B., and Daoud, B. 2012. "Minimum Time Control of the Restricted Three-Body Problem." SIAM J. Control Optim. 50(6).（切换面与最小时间问题）
  • Taheri, E., Kolmanovsky, I., and Atkins, E. 2016. "Enhanced Smoothing Technique for Indirect Optimization of Minimum-Fuel Low-Thrust Trajectories." JGCD 39(11): 2500–2511.（协态归一化 + STM 雅可比）
  • Kulik, S., et al. 2023. "Relative Motion Optimal Control via Variational Equations." JGCD, doi:10.2514/1.G007311.
  • Johnston, B., et al. 2020. Theory of Functional Connections Applied to Optimal Control.（内层-外层循环结构的 TFC 实现）
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Contributors: ouyangjiahong, Ou Yang Jiahong