拟双圆四体问题

本文作者：天疆说
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定义

拟双圆四体问题（Quasi-Bicircular Problem，QBCP）是一种在日地月系统中考虑太阳引力摄动的自洽动力学模型。该模型由 Andreu 和 Simó 于 1999 年提出，是对双圆限制性四体问题（Bicircular Restricted Problem，BCP）的修正。

双圆四体动力学模型中两个三体模型相互独立，实际上并不符合牛顿第二定律，模型非自洽。为了满足自洽性，QBCP 通过修正双圆模型，使太阳、地球、月球三个大天体的运动满足牛顿运动定律，将问题中的 Hamiltonian 函数转化为中心流形，从而获得自洽的动力学描述。

对于日地月系统，拟双圆四体模型的哈密顿函数为：

H_{\mathrm{QBCP}} = \frac{1}{2}\alpha_1(p_x^2 + p_y^2) + \alpha_2(x p_x + y p_y) + \alpha_3(y p_x - x p_y) + \alpha_4 x + \alpha_5 y - \alpha_6\left( \frac{1 - \mu}{r_1} + \frac{\mu}{r_2} + \frac{m_{\mathrm{s}}}{r_{\mathrm{s}}} \right)

其中，参数 $\alpha_k$ 具有时间周期性：

\alpha_k(\theta) = \begin{cases} \alpha_{k0} + \sum\limits_{j \ge 1}\alpha_{kj}\cos(j\theta), & k = 1,3,4,6,7 \\ \sum\limits_{j \ge 1}\alpha_{kj}\sin(j\theta), & k = 2,5,8 \end{cases}

式中 $\theta = \omega_s t$ ， $\omega_s$ 为太阳的归一化运动频率。

QBCP 在动力学模型精度层级中介于 CRTBP 和星历模型之间：

基于 QBCP 模型，Andreu 讨论了地月平衡点附近的不变流形与低能量转移。Guzman 通过多步打靶法在 QBCP 模型下实现了地月平衡点附近的周期轨道和拟周期轨道设计，结果与真实星历情况接近，验证了拟双圆模型在轨道设计中的可行性。

QBCP 为从简化模型向高精度星历模型的过渡提供了良好的中间层次，常用于同伦法等模型转换策略中。

Andreu M A. The translunar halo orbit in the quasi-bicircular problem[D]. Universitat de Barcelona, 1999.
Andreu M A. Dynamics in the center manifold of the collinear points in the quasi-bicircular problem[D]. Universitat de Barcelona, 2002.
Guzman J. Spacecraft trajectory design in the context of a coherent restricted four-body problem[D]. Purdue University, 2001.