圆形限制性三体问题

本文作者：天疆说
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定义

圆型限制性三体问题模型（Circular Restricted Three-Body Problem，CRTBP）是深空探测中最基本的动力学模型之一，也是最常用的模型，描述了一个质量可忽略的小天体在两大天体引力作用下的运动状态。假设两大天体为质点，围绕二者的共同质心做圆周运动。在地月空间中，两大天体即为地球和月球。该模型可以有效地研究平动点附近动力学特性与相空间结构。

坐标系与归一化

CRTBP 通常在地月会合坐标系（地月质心旋转坐标系）中研究。以两个主天体 $P_1$ （地球）和 $P_2$ （月球）的公共质心为坐标原点 $O$ ， $P_1$ 指向 $P_2$ 的延长线为 $x$ 轴， $y$ 轴与 $x$ 轴垂直，构成右手坐标系。

为方便计算，引入无量纲化处理：

特征质量 $M^* = m_1 + m_2$
特征长度 $L^* = \overline{P_1 P_2}$ （地月平均距离）
特征时间 $T^* = \sqrt{L^{*3}/GM^*} = \omega^{-1}$

质量参数定义为 $\mu = m_2/(m_1 + m_2)$ ，其中 $m_2 < m_1$ 。

地月会合坐标系示意图 地月会合坐标系：以两个主天体的公共质心为原点，x轴沿 P₁→P₂ 方向，z轴垂直于地月轨道平面

动力学方程

在归一化后的质心旋转坐标系下，CRTBP 的动力学方程为：

\begin{cases} \ddot{x} - 2\dot{y} = -\dfrac{(1-\mu)(x+\mu)}{r_1^3} - \dfrac{\mu(x-1+\mu)}{r_2^3} + x \\[1em] \ddot{y} + 2\dot{x} = -\dfrac{(1-\mu)y}{r_1^3} - \dfrac{\mu y}{r_2^3} + y \\[1em] \ddot{z} = -\dfrac{(1-\mu)z}{r_1^3} - \dfrac{\mu z}{r_2^3} \end{cases}

其中：

r_1 = \sqrt{(x+\mu)^2 + y^2 + z^2}, \quad r_2 = \sqrt{(x+\mu-1)^2 + y^2 + z^2}

方程中 $-2\dot{y}$ 和 $2\dot{x}$ 为科里奥利力项， $x$ 和 $y$ 项为离心力项。

Jacobi 常数与零速度曲面

1836 年，Jacobi 发现 CRTBP 在旋转坐标系下存在一个能量积分（Jacobi 常数 $C$ ），是 CRTBP 中唯一存在的积分常数：

C = 2\Omega - v^2

其中 $v^2 = \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2$ ，有效势函数为：

\Omega = \frac{x^2 + y^2}{2} + \frac{1-\mu}{r_1} + \frac{\mu}{r_2}

令速度 $v = 0$ ，可得曲面方程 $2\Omega(x,y,z) = C$ ，即零速度曲面。零速度曲面的结构随 Jacobi 常数 $C$ 的变化而变化：

Jacobi 常数范围	探测器运动区域
$C > C_1$	只能在两个主天体各自附近运动
$C_1 > C > C_2$	可经 $L_1$ 实现两天体附近空间的转移
$C_2 > C > C_3$	可经 $L_2$ 点进入外部空间
$C_3 > C$	可从 $L_3$ 点进入外部空间

Jacobi 常数和零速度曲面是描述三体系统内轨道运动的重要指标，也是任务可行性分析的基本工具。

参考文献

张仁勇. 限制性三体问题周期轨道研究综述[J]. 2022.
侯锡云. 平动点的动力学特征及其应用[M]. 2008.
徐明. 基于平动点理论的航天器轨道动力学与控制研究[D]. 2008.

圆形限制性三体问题

定义

坐标系与归一化

动力学方程

Jacobi 常数与零速度曲面

相关概念

参考文献